Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow x_B - x_A = x_D - x_C \) et \( y_B - y_A = y_D - y_C \)
\( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \), \( C(2, 1) \), \( D(5, 5) \)
\( \overrightarrow{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{CD} = (5-2, 5-1) = (3, 4) \)
Les vecteurs AB et CD ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux.
Les vecteurs AB et CD sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées (3, 4).
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
Égalité des vecteurs : \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow x_B - x_A = x_D - x_C \) et \( y_B - y_A = y_D - y_C \)
- Calculer les coordonnées du premier vecteur
- Calculer les coordonnées du second vecteur
- Comparer les couples de coordonnées
- Si les couples sont identiques, les vecteurs sont égaux
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) ou \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \)
\( E(0, 0) \), \( F(3, 1) \), \( G(2, 4) \), \( H(5, 5) \)
\( \overrightarrow{EF} = (3-0, 1-0) = (3, 1) \)
\( \overrightarrow{HG} = (2-5, 4-5) = (-3, -1) \)
\( \overrightarrow{EH} = (5-0, 5-0) = (5, 5) \)
\( \overrightarrow{FG} = (2-3, 4-1) = (-1, 3) \)
\( \overrightarrow{EF} \neq \overrightarrow{HG} \) et \( \overrightarrow{EH} \neq \overrightarrow{FG} \)
Donc EFGH n'est pas un parallélogramme.
EFGH n'est pas un parallélogramme car les côtés opposés ne sont pas égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
\( I(1, 3) \), \( J(4, 7) \), \( K(6, 2) \), \( L(9, 6) \)
\( \overrightarrow{IJ} = (4-1, 7-3) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{KL} = (9-6, 6-2) = (3, 4) \)
Les vecteurs IJ et KL ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux.
Les vecteurs IJ et KL sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées (3, 4).
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
Égalité des vecteurs : \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow x_B - x_A = x_D - x_C \) et \( y_B - y_A = y_D - y_C \)
- Calculer les coordonnées du premier vecteur
- Calculer les coordonnées du second vecteur
- Comparer les couples de coordonnées
- Si les couples sont identiques, les vecteurs sont égaux
\( M(2, 1) \), \( N(5, 4) \), \( O(3, 2) \), \( P(6, 5) \)
\( \overrightarrow{MN} = (5-2, 4-1) = (3, 3) \)
\( \overrightarrow{PO} = (3-6, 2-5) = (-3, -3) \)
\( \overrightarrow{MP} = (6-2, 5-1) = (4, 4) \)
\( \overrightarrow{NO} = (3-5, 2-4) = (-2, -2) \)
\( \overrightarrow{MN} \neq \overrightarrow{PO} \) et \( \overrightarrow{MP} \neq \overrightarrow{NO} \)
Donc MNOP n'est pas un parallélogramme.
MNOP n'est pas un parallélogramme car les côtés opposés ne sont pas égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
\( Q(1, 1) \), \( R(4, 5) \), \( S(7, 2) \), \( T(10, 6) \)
\( \overrightarrow{QR} = (4-1, 5-1) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{TS} = (7-10, 2-6) = (-3, -4) \)
\( \overrightarrow{QT} = (10-1, 6-1) = (9, 5) \)
\( \overrightarrow{RS} = (7-4, 2-5) = (3, -3) \)
\( \overrightarrow{QR} \neq \overrightarrow{TS} \) et \( \overrightarrow{QT} \neq \overrightarrow{RS} \)
Donc QRST n'est pas un parallélogramme.
QRST n'est pas un parallélogramme car les côtés opposés ne sont pas égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
\( U(0, 0) \), \( V(2, 3) \), \( W(5, 3) \), \( X(3, 0) \)
\( \overrightarrow{UV} = (2-0, 3-0) = (2, 3) \)
\( \overrightarrow{XW} = (5-3, 3-0) = (2, 3) \)
\( \overrightarrow{UX} = (3-0, 0-0) = (3, 0) \)
\( \overrightarrow{VW} = (5-2, 3-3) = (3, 0) \)
\( \overrightarrow{UV} = \overrightarrow{XW} \) et \( \overrightarrow{UX} = \overrightarrow{VW} \)
Donc UVWX est un parallélogramme.
UVWX est un parallélogramme car les côtés opposés sont égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
\( Y(1, 2) \), \( Z(4, 6) \), \( A(0, 1) \)
\( \overrightarrow{YZ} = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{YZ} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (3, 4) \)
Soit \( B(x_B, y_B) \), alors \( \overrightarrow{AB} = (x_B-0, y_B-1) = (x_B, y_B-1) = (3, 4) \)
\( x_B = 3 \) et \( y_B - 1 = 4 \Rightarrow y_B = 5 \)
Le point B a pour coordonnées (3, 5).
Quand deux vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont identiques.
On peut résoudre l'équation vectorielle pour trouver les coordonnées du point inconnu.
- Calculer les coordonnées du vecteur connu
- Exprimer le vecteur inconnu en fonction des coordonnées du point à trouver
- Résoudre l'équation vectorielle
Deux vecteurs sont opposés si et seulement si leurs coordonnées sont opposées.
\( \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \vec{0} \)
\( C(2, 3) \), \( D(5, 7) \), \( E(1, 1) \), \( F(4, 5) \)
\( \overrightarrow{CD} = (5-2, 7-3) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{EF} = (4-1, 5-1) = (3, 4) \)
Les vecteurs CD et EF ont les mêmes coordonnées, donc ils ne sont pas opposés.
Les vecteurs CD et EF ne sont pas opposés car ils ont les mêmes coordonnées.
Deux vecteurs sont opposés si et seulement si leurs coordonnées sont opposées.
Autrement dit, \( \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} \) si et seulement si \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \vec{0} \).
- Calculer les coordonnées des deux vecteurs
- Vérifier si les coordonnées sont opposées
- Si oui, les vecteurs sont opposés
\( G(3, 1) \), \( H(6, 4) \), \( J(2, 5) \), \( I(5, 8) \)
\( \overrightarrow{GH} = (6-3, 4-1) = (3, 3) \)
\( \overrightarrow{IJ} = (2-5, 5-8) = (-3, -3) \)
\( \overrightarrow{GI} = (5-3, 8-1) = (2, 7) \)
\( \overrightarrow{HJ} = (2-6, 5-4) = (-4, 1) \)
\( \overrightarrow{GH} \neq \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{GI} \neq \overrightarrow{HJ} \)
Donc GHJI n'est pas un parallélogramme.
GHJI n'est pas un parallélogramme car les côtés opposés ne sont pas égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
\( K(1, 2) \), \( L(4, 6) \), \( M(7, 3) \), \( N(4, -1) \)
\( \overrightarrow{KL} = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{NM} = (7-4, 3-(-1)) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{KN} = (4-1, -1-2) = (3, -3) \)
\( \overrightarrow{LM} = (7-4, 3-6) = (3, -3) \)
\( \overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM} \) et \( \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{LM} \)
Donc KLMN est un parallélogramme.
KLMN est un parallélogramme car les côtés opposés sont égaux.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Autrement dit, les vecteurs associés aux côtés opposés sont égaux.
- Calculer les vecteurs des côtés opposés
- Vérifier s'ils sont égaux
- Si oui, c'est un parallélogramme
