Soit O un point du plan et θ un angle. La rotation de centre O et d'angle θ est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que :
\( OM' = OM \) et \( (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'}) = \theta \)
Coordonnées : Si M(x, y) et O(0, 0), alors M'(x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)
\( A(2, 0) \) et rotation de centre O(0, 0) d'angle θ = 90°
cos(90°) = 0 et sin(90°) = 1
\( A'(2 \times 0 - 0 \times 1, 2 \times 1 + 0 \times 0) = A'(0, 2) \)
L'image A' de A(2, 0) par la rotation de centre O(0, 0) et d'angle 90° est A'(0, 2).
Dans une rotation de centre O et d'angle θ, la distance au centre est conservée et l'angle polaire augmente de θ.
Les coordonnées du point image sont données par les formules de rotation.
- Identifier le centre de rotation O et l'angle θ
- Appliquer les formules de rotation : x' = x cos θ - y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ
- Calculer les coordonnées du point image
\( B(1, 1) \) et rotation de centre O(0, 0) d'angle θ = -45°
cos(-45°) = √2/2 et sin(-45°) = -√2/2
\( B'(1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}), 1 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}) \)
\( B'(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = B'(\sqrt{2}, 0) \)
L'image B' de B(1, 1) par la rotation de centre O(0, 0) et d'angle -45° est B'(√2, 0) ≈ (1.41, 0).
Un angle négatif correspond à une rotation dans le sens horaire.
Les formules de rotation restent valables pour les angles négatifs.
- Calculer les valeurs de cos θ et sin θ
- Appliquer les formules de rotation
- Simplifier les expressions algébriques
Soit O un point du plan et k un réel non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que :
\( \overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM} \)
Coordonnées : Si M(x, y) et O(a, b), alors M'(a + k(x-a), b + k(y-b))
\( C(3, 2) \), O(1, 1) et k = 2
\( C'(1 + 2(3-1), 1 + 2(2-1)) = C'(1 + 4, 1 + 2) = C'(5, 3) \)
L'image C' de C(3, 2) par l'homothétie de centre O(1, 1) et de rapport 2 est C'(5, 3).
Dans une homothétie de centre O et de rapport k, les distances sont multipliées par |k|.
Le centre de l'homothétie est invariant (son image est lui-même).
- Identifier le centre O, le point M et le rapport k
- Appliquer la formule : M'(a + k(x-a), b + k(y-b))
- Calculer les coordonnées du point image
\( D(2, 4) \), O(0, 0) et k = -1/2
\( D'(0 + (-\frac{1}{2})(2-0), 0 + (-\frac{1}{2})(4-0)) = D'(-1, -2) \)
L'image D' de D(2, 4) par l'homothétie de centre O(0, 0) et de rapport -1/2 est D'(-1, -2).
Quand le rapport k est négatif, l'homothétie inverse l'orientation.
Le point image est du côté opposé du centre par rapport au point initial.
- Identifier le centre O, le point M et le rapport k
- Appliquer la formule de l'homothétie
- Attention au signe du rapport pour l'orientation
\( E(4, 0) \) et rotation de centre O(0, 0) d'angle θ = 180°
cos(180°) = -1 et sin(180°) = 0
\( E'(4 \times (-1) - 0 \times 0, 4 \times 0 + 0 \times (-1)) = E'(-4, 0) \)
L'image E' de E(4, 0) par la rotation de centre O(0, 0) et d'angle 180° est E'(-4, 0).
Une rotation de 180° est équivalente à une symétrie centrale par rapport au centre de rotation.
Le point image est le symétrique du point initial par rapport au centre.
- Identifier le centre et l'angle de rotation
- Calculer les valeurs trigonométriques
- Appliquer les formules de rotation
L'image d'une figure par une homothétie est une figure semblable à la figure initiale.
Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k².
\( F(1, 0) \), \( G(3, 0) \), \( H(2, 2) \) et O(0, 0), k = 3
\( F'(0 + 3(1-0), 0 + 3(0-0)) = F'(3, 0) \)
\( G'(0 + 3(3-0), 0 + 3(0-0)) = G'(9, 0) \)
\( H'(0 + 3(2-0), 0 + 3(2-0)) = H'(6, 6) \)
Le triangle F'G'H' a pour sommets : F'(3, 0), G'(9, 0), H'(6, 6).
Pour transformer une figure par homothétie, on transforme chaque sommet séparément.
L'homothétie conserve les formes mais modifie les tailles.
Les angles sont conservés, les longueurs sont multipliées par le rapport.
- Identifier les sommets de la figure
- Appliquer l'homothétie à chaque sommet
- Reconstituer la figure avec les nouveaux sommets
\( I(2, 1) \) et rotation de centre O(0, 0) d'angle θ = 270°
cos(270°) = 0 et sin(270°) = -1
\( I'(2 \times 0 - 1 \times (-1), 2 \times (-1) + 1 \times 0) = I'(1, -2) \)
L'image I' de I(2, 1) par la rotation de centre O(0, 0) et d'angle 270° est I'(1, -2).
Une rotation de 270° dans le sens direct est équivalente à une rotation de 90° dans le sens indirect.
On peut aussi utiliser le fait que 270° = -90°.
- Calculer les valeurs trigonométriques pour l'angle
- Appliquer les formules de rotation
- Simplifier les expressions
\( J(4, 6) \), O(2, 3) et k = 1/2
\( J'(2 + \frac{1}{2}(4-2), 3 + \frac{1}{2}(6-3)) = J'(2 + 1, 3 + \frac{3}{2}) = J'(3, 4.5) \)
L'image J' de J(4, 6) par l'homothétie de centre O(2, 3) et de rapport 1/2 est J'(3, 4.5).
Quand le rapport est compris entre 0 et 1, l'homothétie effectue une réduction.
Le point image est plus proche du centre que le point initial.
- Identifier le centre O, le point M et le rapport k
- Appliquer la formule de l'homothétie
- Calculer les coordonnées du point image
La composée de deux rotations de même centre et d'angles α et β est une rotation de même centre et d'angle α + β.
\( r(O, α) \circ r(O, β) = r(O, α + β) \)
\( K(1, 1) \), O(0, 0), rotation d'angle 45° suivie de rotation d'angle 45°
Angle total = 45° + 45° = 90°
cos(90°) = 0 et sin(90°) = 1
\( K'(1 \times 0 - 1 \times 1, 1 \times 1 + 1 \times 0) = K'(-1, 1) \)
L'image K'' de K(1, 1) par la succession des deux rotations est K''(-1, 1).
La composition de rotations de même centre se traduit par l'addition des angles.
Il est souvent plus simple de combiner les angles avant d'appliquer la transformation finale.
- Identifier les angles des rotations successives
- Additionner les angles pour obtenir l'angle total
- Appliquer une seule rotation avec l'angle total
\( L(3, 4) \), O(1, 2) et k = -2
\( L'(1 + (-2)(3-1), 2 + (-2)(4-2)) = L'(1 - 4, 2 - 4) = L'(-3, -2) \)
L'image L' de L(3, 4) par l'homothétie de centre O(1, 2) et de rapport -2 est L'(-3, -2).
Quand le rapport est négatif, l'homothétie inverse l'orientation.
Le point image est du côté opposé du centre par rapport au point initial.
La distance au centre est multipliée par la valeur absolue du rapport.
- Identifier le centre O, le point M et le rapport k
- Appliquer la formule de l'homothétie
- Attention au signe du rapport pour l'orientation
