Soit A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B). Le vecteur AB a pour coordonnées :
\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \)
\( A(2, 3) \) et \( B(5, 7) \)
\( \overrightarrow{AB} = (5-2, 7-3) = (3, 4) \)
Les coordonnées du vecteur AB sont (3, 4).
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur AB, on soustrait les coordonnées de l'origine A aux coordonnées de l'extrémité B.
Les coordonnées du vecteur indiquent le déplacement horizontal et vertical de A vers B.
- Identifier les coordonnées de l'origine A(x_A, y_A) et de l'extrémité B(x_B, y_B)
- Calculer x_B - x_A pour l'abscisse du vecteur
- Calculer y_B - y_A pour l'ordonnée du vecteur
- Le vecteur AB a pour coordonnées (x_B - x_A, y_B - y_A)
\( \overrightarrow{CD} = \vec{u} \) signifie que le vecteur reliant C à D est égal au vecteur u.
Si C(x_C, y_C) et D(x_D, y_D), alors \( \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) \).
\( C(1, -2) \) et \( \vec{u}(3, 4) \)
\( \overrightarrow{CD} = \vec{u} \Rightarrow (x_D - 1, y_D - (-2)) = (3, 4) \)
\( x_D - 1 = 3 \Rightarrow x_D = 4 \)
\( y_D + 2 = 4 \Rightarrow y_D = 2 \)
Le point D a pour coordonnées (4, 2).
Si \( \overrightarrow{CD} = \vec{u} \), alors D = C + u, c'est-à-dire :
\( D(x_C + x_u, y_C + y_u) \)
On ajoute les coordonnées du vecteur aux coordonnées du point origine.
- Écrire l'égalité vectorielle sous forme de coordonnées
- Résoudre le système d'équations
- Les solutions donnent les coordonnées du point cherché
La norme d'un vecteur \( \vec{u}(x, y) \) est sa longueur, notée \( ||\vec{u}|| \).
\( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
\( E(4, 1) \) et \( F(-1, 3) \)
\( \overrightarrow{EF} = (-1-4, 3-1) = (-5, 2) \)
\( ||\overrightarrow{EF}|| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \)
La norme du vecteur EF est \( \sqrt{29} \).
La norme d'un vecteur est la distance entre son origine et son extrémité.
Elle se calcule avec la formule de Pythagore : \( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \).
- Calculer les coordonnées du vecteur
- Appliquer la formule de la norme
- Simplifier l'expression si possible
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont égaux.
Autrement dit : \( \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{JI} \) et \( \overrightarrow{GJ} = \overrightarrow{HI} \)
\( G(0, 0) \), \( H(2, 1) \), \( I(4, 3) \), \( J(2, 2) \)
\( \overrightarrow{GH} = (2-0, 1-0) = (2, 1) \)
\( \overrightarrow{JI} = (4-2, 3-2) = (2, 1) \)
\( \overrightarrow{GJ} = (2-0, 2-0) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{HI} = (4-2, 3-1) = (2, 2) \)
Donc \( \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{JI} \) et \( \overrightarrow{GJ} = \overrightarrow{HI} \)
GHJI est un parallélogramme car ses côtés opposés sont égaux.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de prouver que deux côtés opposés sont égaux.
Alternativement, on peut montrer que les diagonales ont le même milieu.
- Calculer les coordonnées des vecteurs des côtés opposés
- Vérifier que ces vecteurs sont égaux
- Conclure que la figure est un parallélogramme
La translation de vecteur \( \vec{u} \) transforme un point M en un point M' tel que \( \overrightarrow{MM'} = \vec{u} \).
Si M(x, y) et \( \vec{u}(a, b) \), alors M'(x+a, y+b).
\( K(3, 2) \) et \( \vec{v}(-1, 5) \)
\( K'(3 + (-1), 2 + 5) = K'(2, 7) \)
L'image de K par la translation de vecteur v est K'(2, 7).
La translation de vecteur \( \vec{u}(a, b) \) déplace chaque point de a unités horizontalement et b unités verticalement.
Les coordonnées du point image sont obtenues en ajoutant celles du vecteur aux coordonnées du point initial.
- Identifier le point à transformer et le vecteur de translation
- Ajouter les coordonnées du vecteur aux coordonnées du point
- Le résultat est le point image
Soit \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \). Alors :
\( \vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)
Relation de Chasles : \( \overrightarrow{LM} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{LN} \)
\( L(1, 1) \), \( M(4, 2) \), \( N(3, 5) \)
\( \overrightarrow{LM} = (4-1, 2-1) = (3, 1) \)
\( \overrightarrow{MN} = (3-4, 5-2) = (-1, 3) \)
\( \overrightarrow{LM} + \overrightarrow{MN} = (3, 1) + (-1, 3) = (2, 4) \)
Vérification : \( \overrightarrow{LN} = (3-1, 5-1) = (2, 4) \)
\( \overrightarrow{LM} + \overrightarrow{MN} = (2, 4) \).
L'addition de vecteurs se fait coordonnée par coordonnée.
La relation de Chasles permet de simplifier les sommes de vecteurs : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \).
- Calculer les coordonnées de chaque vecteur
- Additionner les abscisses ensemble, les ordonnées ensemble
- Appliquer la relation de Chasles si applicable
\( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{RS} \) signifie que R est le milieu de [QS].
On peut aussi résoudre cette équation vectorielle pour trouver S.
\( Q(2, 3) \) et \( R(5, 7) \)
\( \overrightarrow{QR} = (5-2, 7-3) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{RS} = (x_S-5, y_S-7) \)
\( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{RS} \Rightarrow (3, 4) = (x_S-5, y_S-7) \)
\( x_S-5 = 3 \Rightarrow x_S = 8 \)
\( y_S-7 = 4 \Rightarrow y_S = 11 \)
Le point S a pour coordonnées (8, 11).
Quand \( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{RS} \), le point R est le milieu du segment [QS].
On peut résoudre l'équation vectorielle pour trouver les coordonnées du point inconnu.
- Calculer les coordonnées du vecteur connu
- Exprimer le vecteur inconnu en fonction des coordonnées du point à trouver
- Résoudre l'équation vectorielle
Soit \( \vec{u}(x, y) \) et k un réel. Alors :
\( k\vec{u} = (kx, ky) \)
\( T(1, 2) \) et \( U(4, 6) \)
\( \overrightarrow{TU} = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
\( 2\overrightarrow{TU} = 2(3, 4) = (6, 8) \)
\( \overrightarrow{TW} = (x_W-1, y_W-2) \)
\( \overrightarrow{TW} = 2\overrightarrow{TU} \Rightarrow (x_W-1, y_W-2) = (6, 8) \)
\( x_W = 7 \) et \( y_W = 10 \)
Le point W a pour coordonnées (7, 10).
Multiplier un vecteur par un scalaire k revient à multiplier chacune de ses coordonnées par k.
Le vecteur résultant a la même direction que le vecteur initial, mais une norme multipliée par |k|.
- Calculer les coordonnées du vecteur à multiplier
- Multipliez chaque coordonnée par le scalaire
- Résolvez l'équation vectorielle pour trouver le point inconnu
Pour trois points X, Y, Z, on a toujours :
\( \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} + \overrightarrow{ZX} = \vec{0} \)
C'est une conséquence de la relation de Chasles.
\( X(0, 0) \), \( Y(2, 1) \), \( Z(3, 4) \)
\( \overrightarrow{XY} = (2, 1) \)
\( \overrightarrow{YZ} = (1, 3) \)
\( \overrightarrow{ZX} = (-3, -4) \)
\( \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} + \overrightarrow{ZX} = (2, 1) + (1, 3) + (-3, -4) = (0, 0) \)
\( \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} + \overrightarrow{ZX} = \vec{0} \).
La somme des vecteurs formant un cycle fermé est toujours nulle.
Pour un triangle XYZ, la somme des côtés orientés est nulle.
- Calculer chaque vecteur du cycle
- Additionner tous les vecteurs
- Le résultat est toujours le vecteur nul
La somme des vecteurs formant les côtés orientés d'un quadrilatère est toujours nulle.
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} \)
\( A(1, 2) \), \( B(4, 5) \), \( C(6, 3) \), \( D(3, 0) \)
\( \overrightarrow{AB} = (3, 3) \)
\( \overrightarrow{BC} = (2, -2) \)
\( \overrightarrow{CD} = (-3, -3) \)
\( \overrightarrow{DA} = (-2, 2) \)
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = (3, 3) + (2, -2) + (-3, -3) + (-2, 2) = (0, 0) \)
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} \).
La somme des vecteurs formant un polygone fermé est toujours nulle.
Ceci découle de la relation de Chasles appliquée à un cycle complet.
- Calculer chaque vecteur du polygone
- Additionner tous les vecteurs dans l'ordre
- Le résultat est toujours le vecteur nul
