Translation et Vecteurs | Transformations du Plan Seconde

Le point M' est l'image de M par la translation de vecteur \(\vec{u}\) si et seulement si :

Cela signifie que MM' a la même direction, le même sens et la même longueur que \(\vec{u}\).

La translation conserve les distances : si A' et B' sont les images de A et B par une translation, alors :

La translation est donc une isométrie.

La translation conserve les mesures d'angles.

Si deux droites se coupent en un point avec un certain angle, leurs images par translation se couperont avec le même angle.

Si trois points sont alignés, leurs images par translation sont également alignés.

La translation transforme une droite en une droite parallèle.

Si le vecteur de translation n'est pas nul, alors la translation n'a aucun point fixe.

Si \(\vec{u} \neq \vec{0}\), alors il n'existe aucun point M tel que \( t_{\vec{u}}(M) = M \).

À tout couple de points (A, B) du plan, on associe un vecteur noté \(\overrightarrow{AB}\).

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par :

• Une direction : celle de la droite (AB)
• Un sens : de A vers B
• Une norme (longueur) : la distance AB

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

On dit que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Cela équivaut à dire que \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\) (les diagonales ont le même milieu).

Pour tous points A, B et C :

Cette relation permet de décomposer ou de recomposer des vecteurs.

Pour additionner deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

• Placer les deux vecteurs à partir d'un même point O
• Construire le parallélogramme OABC où \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\)
• Alors \(\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{OC}\)

Soit \(k\) un réel et \(\vec{u}\) un vecteur.

Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

• La même direction que \(\vec{u}\)
• Le même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), le sens contraire si \(k < 0\)
• Une norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\)

Les vecteurs permettent de :

• Calculer les coordonnées d'un point image par translation
• Démontrer des propriétés de parallélogrammes
• Identifier des points alignés
• Représenter des déplacements

• 1 Dessin vectoriel et infographie
• 2 Déplacements dans les jeux vidéo
• 3 Calculs en physique (forces, vitesses)
• 4 Navigation et cartographie

Soit A(1, 2) et B(4, 1).

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont :

Donc \(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\).

On a A(1, 2) et on cherche D(x, y) tel que \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).

D'abord, calculons \(\overrightarrow{BC}\) avec B(4, 1) et C(2, 5) :

On veut \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), donc :

Ce qui donne : \(x-1 = -2\) et \(y-2 = 4\)

Donc : \(x = -1\) et \(y = 6\)

Les coordonnées de D sont (-1, 6).

Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, il suffit de montrer que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

On a A(1, 2), B(4, 1), C(2, 5), D(-1, 6).

Calculons \(\overrightarrow{DC}\) :

On a \(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\) et \(\overrightarrow{DC} = (3, -1)\).

Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), donc ABCD est un parallélogramme.

L'image du point A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) est le point A' tel que :

Cela signifie que A' est le point D trouvé précédemment.

Donc l'image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) est le point D(-1, 6).

• Transformation définie par un vecteur \(\vec{u}\)
• Tout point M a pour image M' tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\)
• Conserve les distances, angles et alignement
• Transforme une figure en une figure isométrique
• N'a pas de point fixe (sauf si \(\vec{u} = \vec{0}\))

• Caractérisés par une direction, un sens et une norme
• Deux vecteurs sont égaux s'ils ont mêmes direction, sens et norme
• On peut les additionner (relation de Chasles)
• On peut les multiplier par un réel

• Une translation est entièrement définie par un vecteur
• Les vecteurs permettent de représenter les translations
• La composition de translations correspond à l'addition des vecteurs