Rotation et Homothétie (Similitudes) | Transformations du Plan Seconde
Introduction aux rotations et homothéties
Découvrez les transformations géométriques fondamentales
Définition de la rotation
Transformation par rotation
La rotation de centre O et d'angle α est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que :
- OM' = OM (conservation des distances)
- L'angle \(\widehat{MOM'} = α\) (angle orienté)
On dit que M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle α.
On note : \( r_{(O,α)}(M) = M' \) ou \( M' = r_{(O,α)}(M) \)
Un angle positif correspond à une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique).
Un angle négatif correspond à une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.
Propriétés de la rotation
Caractéristiques importantes
La rotation conserve les distances : si A' et B' sont les images de A et B par une rotation, alors :
La rotation est donc une isométrie.
La rotation conserve les mesures d'angles et l'orientation.
Si deux droites se coupent en un point avec un certain angle, leurs images par rotation se couperont avec le même angle.
Le centre de rotation O est invariant par la rotation.
Si M = O, alors M' = O.
La rotation transforme une figure en une figure isométrique (superposable).
Elle préserve les formes et les tailles, mais modifie la position.
Définition de l'homothétie
Transformation par agrandissement/réduction
L'homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que :
On dit que M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k.
On note : \( h_{(O,k)}(M) = M' \) ou \( M' = h_{(O,k)}(M) \)
- Si k > 1 : agrandissement
- Si 0 < k < 1 : réduction
- Si k < 0 : changement de côté par rapport au centre
- Si k = -1 : la transformation est une symétrie centrale
- Si k = 1 : la transformation est l'identité
Propriétés de l'homothétie
Caractéristiques importantes
L'homothétie multiplie les distances par la valeur absolue du rapport k.
Si A' et B' sont les images de A et B par une homothétie de rapport k, alors :
L'homothétie conserve les mesures d'angles.
Si deux droites se coupent en un point avec un certain angle, leurs images par homothétie se couperont avec le même angle.
Le centre de l'homothétie O est invariant.
Si M = O, alors M' = O.
L'homothétie transforme une figure en une figure semblable.
Les figures sont proportionnelles mais pas isométriques (sauf si |k| = 1).
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les rotations et homothéties permettent de :
- Calculer les coordonnées d'un point image
- Démontrer des propriétés de figures
- Résoudre des problèmes de construction
- Étudier les figures semblables
- 1 Dessin technique et architecture
- 2 Modélisation informatique
- 3 Cartographie et géodésie
- 4 Photographie et imagerie
Exercice d'application
Problème complet
Soit un triangle ABC avec A(1, 2), B(4, 1) et C(2, 5).
1. Déterminer les coordonnées de A', B', C' images de A, B, C par la rotation de centre O(0, 0) et d'angle 90°.
2. Déterminer les coordonnées de A'', B'', C'' images de A, B, C par l'homothétie de centre O(0, 0) et de rapport k = 2.
3. Comparer les aires des triangles ABC, A'B'C' et A''B''C''.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Si M(x, y) et O(0, 0) est le centre de rotation d'angle 90°, alors M'(x', y') est tel que :
Donc :
- A'(−2, 1)
- B'(−1, 4)
- C'(−5, 2)
Si M(x, y) et O(0, 0) est le centre de l'homothétie de rapport 2, alors M''(x'', y'') est tel que :
Donc :
- A''(2, 4)
- B''(8, 2)
- C''(4, 10)
- L'aire du triangle ABC est conservée par rotation (isométrie)
- L'aire du triangle A'B'C' est égale à l'aire de ABC
- L'aire du triangle A''B''C'' est multipliée par \( k^2 = 2^2 = 4 \)
- Donc aire(A''B''C'') = 4 × aire(ABC)
La rotation conserve l'aire, l'homothétie multiplie l'aire par le carré du rapport.
Résumé
Points clés
- Transformation définie par un centre O et un angle α
- Conserve les distances, angles et orientation
- Un seul point invariant : le centre O
- Transforme une figure en une figure isométrique
- Transformation définie par un centre O et un rapport k
- Multiplie les distances par |k|
- Conserve les angles
- Un seul point invariant : le centre O
- Transforme une figure en une figure semblable
- Les rotations et homothéties sont des transformations particulières
- Les similitudes conservent les angles
- Une similitude directe est la composée d'une rotation et d'une homothétie
- Elles transforment des figures en des figures semblables
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences