Symétrie Centrale et Symétrie Axiale | Transformations du Plan Seconde
Introduction aux symétries centrale et axiale
Découvrez les transformations géométriques fondamentales
Définition de la symétrie centrale
Symétrie par rapport à un point
La symétrie centrale de centre O est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que O est le milieu du segment [MM'].
On dit que M' est le symétrique de M par rapport au point O.
On note : \( s_O(M) = M' \) ou \( M' = s_O(M) \)
Le point M' est le symétrique de M par rapport au point O si et seulement si :
Ou encore : \( \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM'} = \vec{0} \)
Propriétés de la symétrie centrale
Caractéristiques importantes
La symétrie centrale conserve les distances : si A' et B' sont les symétriques de A et B par rapport à O, alors :
La symétrie centrale est donc une isométrie.
La symétrie centrale conserve les mesures d'angles.
Si deux droites se coupent en un point avec un certain angle, leurs images par symétrie centrale se couperont avec le même angle.
Si trois points sont alignés, leurs symétriques par rapport à un point sont également alignés.
La symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle.
Définition de la symétrie axiale
Symétrie par rapport à une droite
La symétrie axiale d'axe (d) est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que (d) est la médiatrice du segment [MM'].
On dit que M' est le symétrique de M par rapport à la droite (d).
On note : \( s_d(M) = M' \) ou \( M' = s_d(M) \)
- La droite (MM') est perpendiculaire à l'axe (d)
- Le point M est à la même distance de l'axe (d) que le point M'
- Si M appartient à l'axe (d), alors M' = M (points invariants)
Propriétés de la symétrie axiale
Caractéristiques importantes
La symétrie axiale conserve les distances : si A' et B' sont les symétriques de A et B par rapport à une droite (d), alors :
La symétrie axiale est donc une isométrie.
La symétrie axiale conserve les mesures d'angles.
Si deux droites se coupent en un point avec un certain angle, leurs images par symétrie axiale se couperont avec le même angle.
Les points de l'axe de symétrie sont invariants par la symétrie axiale.
Si M appartient à l'axe (d), alors M' = M.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les symétries permettent de :
- Identifier les axes de symétrie d'une figure
- Reconnaître des figures invariantes par symétrie
- Calculer des longueurs et des angles dans des figures symétriques
- Résoudre des problèmes de construction
- 1 Dessin technique et architecture
- 2 Modèles de motifs décoratifs
- 3 Fabrication de pièces mécaniques
- 4 Design graphique et logo
Exercice d'application
Problème complet
Soit un triangle ABC avec A(2, 3), B(5, 1) et C(4, 6).
1. Construisez le symétrique A'B'C' du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O(0, 0).
2. Construisez le symétrique A''B''C'' du triangle ABC par la symétrie axiale d'axe (Ox).
3. Comparez les coordonnées des points A, A', A''.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Si M(x, y) et O(0, 0) est le centre de symétrie, alors M'(x', y') est tel que :
Donc :
- A'(−2, −3)
- B'(−5, −1)
- C'(−4, −6)
Si M(x, y) et l'axe de symétrie est (Ox), alors M''(x'', y'') est tel que :
Donc :
- A''(2, −3)
- B''(5, −1)
- C''(4, −6)
- A(2, 3)
- A'(−2, −3) (symétrique central)
- A''(2, −3) (symétrique axial d'axe (Ox))
On observe que :
- La symétrie centrale change les deux coordonnées de signe
- La symétrie axiale d'axe (Ox) ne change que la coordonnée y de signe
Résumé
Points clés
- Transformation par rapport à un point O
- O est le milieu de [MM']
- Conserve les distances, angles et alignement
- Un seul point invariant : le centre O
- Transformation par rapport à une droite (d)
- (d) est la médiatrice de [MM']
- Conserve les distances, angles et alignement
- Points invariants : les points de l'axe (d)
- La symétrie centrale est une rotation de 180°
- La symétrie axiale inverse l'orientation
- La symétrie centrale n'inverse pas l'orientation
- Les deux sont des isométries
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences