Soit O un point du plan. La symétrie de centre O est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que O soit le milieu de [MM']. On note : \( M' = S_O(M) \)
Coordonnées : Si O(a, b) et M(x, y), alors M'(2a-x, 2b-y)
\( A(2, 3) \) et \( O(0, 0) \)
Coordonnées de A' : \( A'(2 \times 0 - 2, 2 \times 0 - 3) = A'(-2, -3) \)
L'image A' de A(2, 3) par la symétrie de centre O(0, 0) est A'(-2, -3).
Dans une symétrie centrale de centre O, le point O est le milieu du segment [MM'] où M' est l'image de M.
Si \( M(x, y) \) et \( O(a, b) \), alors \( M'(2a-x, 2b-y) \).
- Identifier le centre O et le point M à transformer
- Appliquer la formule : \( M'(2a-x, 2b-y) \)
- Vérifier que O est le milieu de [MM']
Soit d une droite du plan. La symétrie d'axe d est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que d soit la médiatrice de [MM']. On note : \( M' = S_d(M) \)
\( B(-1, 4) \) et axe d : x = 2
Pour une symétrie d'axe vertical x = a, l'image de M(x, y) est M'(2a-x, y)
Ainsi, B' a pour coordonnées : \( B'(2 \times 2 - (-1), 4) = B'(5, 4) \)
L'image B' de B(-1, 4) par la symétrie d'axe x = 2 est B'(5, 4).
Pour une symétrie d'axe vertical x = a, l'abscisse change selon la formule : x' = 2a - x, tandis que l'ordonnée reste inchangée.
L'axe de symétrie est la médiatrice du segment [MM'].
- Identifier l'axe de symétrie
- Appliquer la formule appropriée selon l'orientation de l'axe
- Vérifier que l'axe est la médiatrice de [MM']
\( C(3, -2) \) et axe d : y = -1
Pour une symétrie d'axe horizontal y = b, l'image de M(x, y) est M'(x, 2b-y)
Ainsi, C' a pour coordonnées : \( C'(3, 2 \times (-1) - (-2)) = C'(3, 0) \)
L'image C' de C(3, -2) par la symétrie d'axe y = -1 est C'(3, 0).
Pour une symétrie d'axe horizontal y = b, l'ordonnée change selon la formule : y' = 2b - y, tandis que l'abscisse reste inchangée.
L'axe de symétrie est perpendiculaire au segment [MM'] et passe par son milieu.
- Identifier l'axe de symétrie
- Appliquer la formule appropriée selon l'orientation de l'axe
- Vérifier que l'axe est la médiatrice de [MM']
Le centre de symétrie d'un segment [AB] est le milieu de ce segment.
Coordonnées du milieu : \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)
\( D(1, 1) \) et \( E(4, 3) \)
Centre de symétrie I : \( I\left( \frac{1+4}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = I\left( \frac{5}{2}, 2 \right) = I(2.5, 2) \)
Le centre de symétrie de [DE] est le point I(2.5, 2).
Le milieu d'un segment [AB] de coordonnées A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) est le point de coordonnées :
\( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
Ce point est le centre de symétrie du segment.
- Identifier les extrémités du segment
- Appliquer la formule du milieu
- Le résultat est le centre de symétrie
Une transformation est involutive si l'application de la transformation deux fois de suite redonne le point de départ.
Pour une symétrie centrale : \( S_O \circ S_O = Id \) (identité)
Soit M(x, y) un point quelconque.
\( M' = S_F(M) \Rightarrow M'(2 \times 2 - x, 2 \times 5 - y) = M'(4-x, 10-y) \)
\( M'' = S_F(M') \Rightarrow M''(2 \times 2 - (4-x), 2 \times 5 - (10-y)) = M''(x, y) \)
Donc \( M'' = M \), la transformation est involutive.
La symétrie de centre F est involutive car \( S_F \circ S_F = Id \).
Une transformation T est involutive si T ∘ T = Id (identité).
Pour la symétrie centrale : l'image de l'image redonne le point de départ.
Cela signifie que la symétrie centrale est sa propre réciproque.
- Prendre un point M(x, y) quelconque
- Appliquer la transformation deux fois de suite
- Vérifier que le résultat est M(x, y)
L'image d'une figure par une symétrie centrale est obtenue en transformant chaque point de la figure.
Les propriétés sont conservées : longueurs, angles, parallélisme, orthogonalité.
\( G(0, 0) \), \( H(4, 0) \), \( I(2, 3) \) et centre de symétrie O(0, 0)
\( G'(2 \times 0 - 0, 2 \times 0 - 0) = G'(0, 0) \)
\( H'(2 \times 0 - 4, 2 \times 0 - 0) = H'(-4, 0) \)
\( I'(2 \times 0 - 2, 2 \times 0 - 3) = I'(-2, -3) \)
Le triangle G'H'I' a pour sommets : G'(0, 0), H'(-4, 0), I'(-2, -3).
Pour transformer une figure par symétrie centrale, on transforme chaque sommet séparément.
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires et les formes.
Elle inverse l'orientation (changement d'orientation).
- Identifier les sommets de la figure
- Appliquer la transformation à chaque sommet
- Reconstituer la figure avec les nouveaux sommets
L'axe de symétrie d'un segment [AB] est la médiatrice de ce segment.
Elle passe par le milieu de [AB] et est perpendiculaire à (AB).
\( J(1, 2) \) et \( K(3, 4) \)
Milieu I de [JK] : \( I\left( \frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2} \right) = I(2, 3) \)
Vecteur directeur de (JK) : \( \vec{JK} = (2, 2) \)
Vecteur normal à (JK) : \( \vec{n} = (-2, 2) \) ou \( (1, -1) \)
Équation de la médiatrice : \( x + y = 5 \) (car passe par I(2,3) et a pour vecteur normal (1,1))
L'axe de symétrie de [JK] est la droite d'équation x + y = 5.
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite passant par le milieu de [AB] et perpendiculaire à (AB).
Elle est constituée de tous les points équidistants de A et B.
- Trouver le milieu du segment
- Déterminer un vecteur directeur du segment
- En déduire un vecteur normal (perpendiculaire)
- Former l'équation de la droite passant par le milieu avec ce vecteur normal
L'axe y = x est la bissectrice du premier et troisième quadrant.
L'image de M(x, y) par la symétrie d'axe y = x est M'(y, x).
\( L(-2, 1) \) et axe d : y = x
Image de L par la symétrie d'axe y = x : \( L'(1, -2) \)
L'image L' de L(-2, 1) par la symétrie d'axe y = x est L'(1, -2).
Pour la symétrie d'axe y = x, les coordonnées s'échangent : (x, y) devient (y, x).
Cette droite est la médiatrice du segment reliant M à M'.
- Identifier l'axe de symétrie (ici y = x)
- Appliquer la transformation spécifique à cet axe
- Pour y = x, échanger abscisse et ordonnée
\( S_{O_2} \circ S_{O_1} \) signifie qu'on applique d'abord \( S_{O_1} \) puis \( S_{O_2} \).
La composée de deux symétries centrales est une translation.
\( M(x, y) \rightarrow M'(2x_M - x, 2y_M - y) \) par \( S_M \)
\( M'(x', y') \rightarrow M''(2x_N - x', 2y_N - y') \) par \( S_N \)
\( M''(2x_N - (2x_M - x), 2y_N - (2y_M - y)) = M''(2x_N - 2x_M + x, 2y_N - 2y_M + y) \)
\( M''(x + 2(x_N - x_M), y + 2(y_N - y_M)) \)
C'est une translation de vecteur \( 2\vec{MN} \).
La composée de deux symétries centrales est une translation de vecteur \( 2\vec{MN} \) où M et N sont les centres des symétries.
\( S_{O_2} \circ S_{O_1} = t_{2\vec{O_1O_2}} \) (translation de vecteur \( 2\vec{O_1O_2} \))
Si les centres sont confondus, la composée est l'identité.
- Appliquer la première symétrie
- Appliquer la deuxième symétrie au résultat
- Identifier la transformation résultante
Soit d la droite d'équation ax + by + c = 0 et M(x₀, y₀).
L'image M'(x', y') de M par la symétrie d'axe d est donné par des formules complexes mais on peut utiliser la construction géométrique.
\( P(2, 1) \) et axe d : y = 2x + 1 (soit 2x - y + 1 = 0)
Étape 1 : Trouver la perpendiculaire à d passant par P.
Étape 2 : Trouver l'intersection H de cette perpendiculaire avec d.
Étape 3 : P' est tel que H est le milieu de [PP'].
Vecteur normal à d : (2, -1), donc perpendiculaire : (1, 2)
Droite perpendiculaire à d passant par P : (x, y) = (2, 1) + k(1, 2)
Intersection avec d : 2(2+k) - (1+2k) + 1 = 0 → 4+2k-1-2k+1 = 0 → 4 ≠ 0
Correction : 2(2+k) - (1+2k) + 1 = 0 → 4+2k-1-2k+1 = 0 → 4 ≠ 0
La droite perpendiculaire : y - 1 = -½(x - 2) → y = -½x + 2
Intersection : 2x + 1 = -½x + 2 → 2.5x = 1 → x = ⅖, y = 9/5
H(⅖, 9/5) est le milieu de [PP'], donc P'(2×⅖-2, 2×9/5-1) = P'(-6/5, 13/5)
L'image P' de P(2, 1) par la symétrie d'axe y = 2x + 1 est P'(-1.2, 2.6).
Pour une symétrie axiale par rapport à une droite d'équation ax + by + c = 0 :
1. Tracer la perpendiculaire à l'axe passant par le point
2. Trouver le point d'intersection H
3. Le point image est tel que H est le milieu du segment
- Déterminer l'équation de la perpendiculaire à l'axe passant par le point
- Trouver l'intersection de cette perpendiculaire avec l'axe
- Utiliser le fait que ce point d'intersection est le milieu du segment point-point image
