Applications concrètes (hauteur, distance)
10 Exercices Corrigés

On crée un triangle rectangle :

• A : position de l'observateur au sol
• B : base de l'immeuble
• C : sommet de l'immeuble

Distance AB = 50 m (côté adjacent à l'angle d'élévation)

Angle d'élévation = 30°

Hauteur BC = ? (côté opposé à l'angle d'élévation)

Dans le triangle rectangle ABC, rectangle en B :

\(\tan(30°) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}\)

\(\tan(30°) = \frac{BC}{50}\)

\(BC = AB \times \tan(30°)\)

\(BC = 50 \times \tan(30°)\)

\(BC = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{3}\) (valeur exacte)

\(BC \approx 50 \times 0.577 \approx 28.9\) m

Triangle rectangle avec :

• A : yeux de l'observateur (à 1.70 m du sol)
• B : base de l'arbre
• C : sommet de l'arbre

Distance AB = 20 m (côté adjacent)

Angle d'élévation = 45°

Hauteur de l'observateur = 1.70 m

Hauteur du segment AC = ? (côté opposé)

\(\tan(45°) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AC}{AB}\)

\(\tan(45°) = \frac{AC}{20}\)

Comme \(\tan(45°) = 1\), on a : \(AC = 20 \times 1 = 20\) m

Hauteur de l'arbre = hauteur du segment AC + hauteur de l'observateur

Hauteur de l'arbre = 20 + 1.70 = 21.70 m

Distance = 1 km = 1000 m

Triangle rectangle avec :

• A : position de l'observateur
• B : base de la montagne
• C : sommet de la montagne

Distance AB = 1000 m (côté adjacent)

Angle d'élévation = 15°

Hauteur BC = ? (côté opposé)

\(\tan(15°) = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{1000}\)

\(BC = 1000 \times \tan(15°)\)

\(\tan(15°) \approx 0.268\)

\(BC = 1000 \times 0.268 = 268\) m

Triangle rectangle avec :

• A : position de l'observateur sur la falaise
• B : base de la falaise
• C : position du bateau

Hauteur AB = 50 m (côté opposé à l'angle de dépression)

Angle de dépression = 20°

Distance BC = ? (côté adjacent à l'angle de dépression)

L'angle de dépression est égal à l'angle d'élévation du bateau vers l'observateur.

Donc on peut utiliser \(\tan(20°) = \frac{AB}{BC}\)

\(\tan(20°) = \frac{AB}{BC} = \frac{50}{BC}\)

\(BC = \frac{50}{\tan(20°)}\)

\(\tan(20°) \approx 0.364\)

\(BC = \frac{50}{0.364} \approx 137.4\) m

Triangle rectangle avec :

• A : position de l'avion
• B : projection de l'avion sur le sol
• C : point observé au sol

Altitude AB = 3000 m (côté opposé à l'angle de dépression)

Angle de dépression = 10°

Distance horizontale BC = ? (côté adjacent à l'angle de dépression)

\(\tan(10°) = \frac{AB}{BC} = \frac{3000}{BC}\)

\(BC = \frac{3000}{\tan(10°)}\)

\(\tan(10°) \approx 0.176\)

\(BC = \frac{3000}{0.176} \approx 17045.5\) m

\(BC \approx 17.0\) km

Soit T la hauteur de la tour, et A et B les deux points d'observation séparés de 100 m.

Soit x la distance du premier point à la base de la tour.

\(\tan(30°) = \frac{T}{x}\)

\(T = x \times \tan(30°) = x \times \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Le deuxième point est à (x - 100) m de la base de la tour.

\(\tan(45°) = \frac{T}{x - 100}\)

\(T = (x - 100) \times \tan(45°) = (x - 100) \times 1 = x - 100\)

\(x \times \frac{\sqrt{3}}{3} = x - 100\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3}x = x - 100\)

\(100 = x - \frac{\sqrt{3}}{3}x = x(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})\)

\(100 = x \times \frac{3-\sqrt{3}}{3}\)

\(x = \frac{100 \times 3}{3-\sqrt{3}}\)

\(x = \frac{300}{3-\sqrt{3}}\)

Pour simplifier, multiplions numérateur et dénominateur par \((3+\sqrt{3})\) :

\(x = \frac{300(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{300(3+\sqrt{3})}{9-3} = \frac{300(3+\sqrt{3})}{6} = 50(3+\sqrt{3})\)

\(x = 150 + 50\sqrt{3} \approx 150 + 50 \times 1.732 \approx 150 + 86.6 = 236.6\) m

\(T = x - 100 = 236.6 - 100 = 136.6\) m

Triangle rectangle avec :

• A : point de mesure sur la même rive
• B : point sur l'autre rive (repère)
• C : point sur la même rive, à 50 m perpendiculairement de A

Distance AC = 50 m (côté adjacent à l'angle de 60°)

Angle en A = 60°

Largeur de la rivière AB = ? (côté opposé à l'angle de 60°)

\(\tan(60°) = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{50}\)

\(AB = 50 \times \tan(60°)\)

\(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1.732\)

\(AB = 50 \times \sqrt{3} = 50\sqrt{3} \approx 50 \times 1.732 = 86.6\) m

Triangle rectangle avec :

• A : base du bâtiment
• B : sommet du bâtiment
• C : extrémité de l'ombre

Longueur de l'ombre AC = 30 m (côté adjacent à l'angle d'élévation du soleil)

Angle d'élévation du soleil = 40°

Hauteur du bâtiment AB = ? (côté opposé à l'angle d'élévation)

\(\tan(40°) = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{30}\)

\(AB = 30 \times \tan(40°)\)

\(\tan(40°) \approx 0.839\)

\(AB = 30 \times 0.839 = 25.17\) m

Triangle rectangle avec :

• A : sommet du phare
• B : base du phare
• C : position du bateau

Hauteur du phare AB = 40 m (côté opposé à l'angle de dépression)

Angle de dépression = 5°

Distance BC = ? (côté adjacent à l'angle de dépression)

\(\tan(5°) = \frac{AB}{BC} = \frac{40}{BC}\)

\(BC = \frac{40}{\tan(5°)}\)

\(\tan(5°) \approx 0.0875\)

\(BC = \frac{40}{0.0875} \approx 457.1\) m

Triangle rectangle avec :

• A : sommet de l'immeuble
• B : base de l'immeuble
• C : point observé au sol

Hauteur de l'immeuble AB = 60 m (côté opposé à l'angle de dépression)

Angle de dépression = 35°

Distance BC = ? (côté adjacent à l'angle de dépression)

\(\tan(35°) = \frac{AB}{BC} = \frac{60}{BC}\)

\(BC = \frac{60}{\tan(35°)}\)

\(\tan(35°) \approx 0.700\)

\(BC = \frac{60}{0.700} \approx 85.7\) m