Énoncé : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Formule : \(c^2 = a^2 + b^2\) où c est l'hypoténuse et a, b sont les côtés de l'angle droit.
Triangle ABC rectangle en A
AB = 3 cm (côté de l'angle droit)
AC = 4 cm (côté de l'angle droit)
BC = ? (hypoténuse)
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 3^2 + 4^2\)
\(BC^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC = \sqrt{25} = 5\) cm
BC = 5 cm
• Théorème de Pythagore : \(c^2 = a^2 + b^2\)
• Identification : L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit
• Calcul : Additionner les carrés des côtés de l'angle droit, puis prendre la racine carrée
Utilisation inversée : On connaît l'hypoténuse et un côté, on cherche le troisième côté.
Triangle DEF rectangle en E
DE = 5 cm (côté de l'angle droit)
DF = 13 cm (hypoténuse)
EF = ? (côté de l'angle droit)
\(DF^2 = DE^2 + EF^2\)
\(13^2 = 5^2 + EF^2\)
\(169 = 25 + EF^2\)
\(EF^2 = 169 - 25 = 144\)
\(EF = \sqrt{144} = 12\) cm
EF = 12 cm
• Pythagore inversé : \(a^2 = c^2 - b^2\) (où c est l'hypoténuse)
• Subtraction : Quand on connaît l'hypoténuse et un côté, on soustrait
• Vérification : \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓
Cosinus : \(\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
Sinus : \(\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
Tangente : \(\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
Triangle GHI rectangle en H
GH = 6 cm (côté adjacent à \(\widehat{HGI}\))
GI = 10 cm (hypoténuse)
HI = ? (côté opposé à \(\widehat{HGI}\))
Théorème de Pythagore : \(GI^2 = GH^2 + HI^2\)
\(10^2 = 6^2 + HI^2\)
\(100 = 36 + HI^2\)
\(HI^2 = 64\)
\(HI = \sqrt{64} = 8\) cm
\(\cos(\widehat{HGI}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{GH}{GI} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\sin(\widehat{HGI}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{HI}{GI} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\tan(\widehat{HGI}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{HI}{GH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
\(\cos(\widehat{HGI}) = \frac{3}{5}\), \(\sin(\widehat{HGI}) = \frac{4}{5}\), \(\tan(\widehat{HGI}) = \frac{4}{3}\)
• SOH-CAH-TOA : Mémo pour retenir les formules trigonométriques
• Identification : Déterminer correctement les côtés par rapport à l'angle choisi
• Vérification : \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) : \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1\) ✓
Utilisation des fonctions trigonométriques pour calculer des longueurs manquantes.
Triangle JKL rectangle en K
JK = 8 cm (côté adjacent à \(\widehat{LJK}\))
\(\cos(\widehat{LJK}) = \frac{4}{5}\)
\(\cos(\widehat{LJK}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{JK}{JL}\)
\(\frac{4}{5} = \frac{8}{JL}\)
Produit en croix : \(4 \times JL = 5 \times 8\)
\(4 \times JL = 40\)
\(JL = \frac{40}{4} = 10\) cm
\(JL^2 = JK^2 + KL^2\)
\(10^2 = 8^2 + KL^2\)
\(100 = 64 + KL^2\)
\(KL^2 = 36\)
\(KL = \sqrt{36} = 6\) cm
\(\sin(\widehat{LJK}) = \frac{KL}{JL} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\cos^2 + \sin^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1\) ✓
JL = 10 cm et KL = 6 cm
• Utilisation du cosinus : \(\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
• Produit en croix : Pour isoler la variable inconnue
• Pythagore : Pour trouver le troisième côté
Le sinus d'un angle est le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse.
Triangle MNP rectangle en P
MN = 10 cm (hypoténuse)
MP = 6 cm (côté adjacent à \(\widehat{NMP}\))
NP = ? (côté opposé à \(\widehat{NMP}\))
Théorème de Pythagore : \(MN^2 = MP^2 + NP^2\)
\(10^2 = 6^2 + NP^2\)
\(100 = 36 + NP^2\)
\(NP^2 = 64\)
\(NP = \sqrt{64} = 8\) cm
\(\sin(\widehat{NMP}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{NP}{MN} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\cos(\widehat{NMP}) = \frac{MP}{MN} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\cos^2 + \sin^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1\) ✓
\(\sin(\widehat{NMP}) = \frac{4}{5}\)
• Sinus : \(\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
• Pythagore : Pour trouver le côté opposé manquant
• Vérification : Utiliser l'identité \(\cos^2 + \sin^2 = 1\)
La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent.
Triangle QRS rectangle en R
QS = 15 cm (hypoténuse)
\(\tan(\widehat{SQR}) = \frac{3}{4}\)
\(\tan(\widehat{SQR}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{RS}{QR} = \frac{3}{4}\)
Cela signifie que \(RS = 3k\) et \(QR = 4k\) pour une certaine valeur \(k > 0\)
\(QS^2 = QR^2 + RS^2\)
\(15^2 = (4k)^2 + (3k)^2\)
\(225 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2\)
\(25k^2 = 225\)
\(k^2 = \frac{225}{25} = 9\)
\(k = \sqrt{9} = 3\)
\(QR = 4k = 4 \times 3 = 12\) cm
\(RS = 3k = 3 \times 3 = 9\) cm
\(QR^2 + RS^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2 = QS^2\) ✓
\(\tan(\widehat{SQR}) = \frac{RS}{QR} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) ✓
QR = 12 cm et RS = 9 cm
• Tangente : \(\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)
• Proportionnalité : Si \(\tan = \frac{a}{b}\), alors côtés = ak et bk
• Pythagore : Pour trouver la valeur du coefficient k
Utilisation des fonctions trigonométriques inverses pour trouver la mesure d'un angle.
Triangle TUV rectangle en U
TU = 7 cm (côté adjacent à \(\widehat{UTV}\))
UV = 24 cm (côté opposé à \(\widehat{UTV}\))
TV = ? (hypoténuse)
Théorème de Pythagore : \(TV^2 = TU^2 + UV^2\)
\(TV^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)
\(TV = \sqrt{625} = 25\) cm
\(\tan(\widehat{UTV}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{UV}{TU} = \frac{24}{7}\)
\(\widehat{UTV} = \arctan\left(\frac{24}{7}\right)\)
\(\widehat{UTV} \approx 73.7°\) (à 0.1° près)
\(\sin(\widehat{UTV}) = \frac{UV}{TV} = \frac{24}{25} = 0.96\)
\(\widehat{UTV} = \arcsin(0.96) \approx 73.7°\) ✓
\(\widehat{UTV} \approx 73.7°\)
• Fonctions inverses : \(\theta = \arctan\left(\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)\)
• Calculatrice : Utiliser la fonction arctan ou tan⁻¹
• Vérification : Peut s'effectuer avec sinus ou cosinus
Le sinus permet de relier un angle à la longueur de côtés.
Triangle WXY rectangle en Y
WX = 17 cm (hypoténuse)
\(\sin(\widehat{XWY}) = \frac{15}{17}\)
\(\sin(\widehat{XWY}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{XY}{WX}\)
\(\frac{15}{17} = \frac{XY}{17}\)
\(XY = \frac{15}{17} \times 17 = 15\) cm
\(WX^2 = WY^2 + XY^2\)
\(17^2 = WY^2 + 15^2\)
\(289 = WY^2 + 225\)
\(WY^2 = 64\)
\(WY = \sqrt{64} = 8\) cm
\(\cos(\widehat{XWY}) = \frac{WY}{WX} = \frac{8}{17}\)
\(\cos^2 + \sin^2 = \left(\frac{8}{17}\right)^2 + \left(\frac{15}{17}\right)^2 = \frac{64}{289} + \frac{225}{289} = \frac{289}{289} = 1\) ✓
WY = 8 cm et XY = 15 cm
• Sinus : \(\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
• Isolation : Multiplier par l'hypoténuse pour isoler le côté opposé
• Pythagore : Pour trouver le côté adjacent
La tangente relie l'angle au rapport des côtés adjacents.
Triangle ZAB rectangle en A
AB = 12 cm (côté opposé à \(\widehat{BAZ}\))
\(\tan(\widehat{BAZ}) = \frac{5}{12}\)
\(\tan(\widehat{BAZ}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AB}{AZ}\)
\(\frac{5}{12} = \frac{12}{AZ}\)
Produit en croix : \(5 \times AZ = 12 \times 12\)
\(5 \times AZ = 144\)
\(AZ = \frac{144}{5} = 28.8\) cm
\(BZ^2 = AB^2 + AZ^2\)
\(BZ^2 = 12^2 + 28.8^2\)
\(BZ^2 = 144 + 829.44 = 973.44\)
\(BZ = \sqrt{973.44} = 31.2\) cm
\(\tan(\widehat{BAZ}) = \frac{AB}{AZ} = \frac{12}{28.8} = \frac{120}{288} = \frac{5}{12}\) ✓
AZ = 28.8 cm et BZ = 31.2 cm
• Tangente : \(\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)
• Produit en croix : Pour isoler le côté adjacent
• Pythagore : Pour trouver l'hypoténuse
Utilisation des valeurs trigonométriques connues pour un angle de 30°.
Triangle rectangle
Hypoténuse = 25 cm
Un angle = 30°
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(\sin(30°) = \frac{1}{2} = 0.5\)
\(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577\)
\(\cos(30°) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{côté adjacent}}{25}\)
\(\text{côté adjacent} = 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \approx 21.65\) cm
\(\sin(30°) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{\text{côté opposé}}{25}\)
\(\text{côté opposé} = 25 \times \frac{1}{2} = 12.5\) cm
\(\left(\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (12.5)^2 = \frac{625 \times 3}{4} + 156.25 = \frac{1875}{4} + \frac{625}{4} = \frac{2500}{4} = 625\)
\(\sqrt{625} = 25\) cm ✓
Les deux autres côtés mesurent \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\) cm (≈ 21.65 cm) et 12.5 cm
• Valeurs remarquables : Connaître \(\cos(30°)\), \(\sin(30°)\), \(\tan(30°)\)
• Applications : \(\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) et \(\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
• Vérification : Toujours vérifier avec le théorème de Pythagore
