Cosinus : \(\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
Sinus : \(\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
Tangente : \(\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
Triangle ABC rectangle en A
AB = 3 cm (côté adjacent à \(\widehat{BAC}\))
AC = 4 cm (côté opposé à \(\widehat{BAC}\))
BC = ? (hypoténuse)
Théorème de Pythagore : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC = \sqrt{25} = 5\) cm
\(\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}\)
\(\sin(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}\)
\(\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}\)
\(\cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{5}\), \(\sin(\widehat{BAC}) = \frac{4}{5}\), \(\tan(\widehat{BAC}) = \frac{4}{3}\)
• SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent
• Pythagore : Pour trouver l'hypoténuse manquante
• Identification : Bien identifier les côtés par rapport à l'angle concerné
Triangle rectangle : Un triangle ayant un angle droit (90°).
Triangle DEF rectangle en E
DE = 5 cm (côté adjacent à \(\widehat{EDF}\))
DF = 13 cm (hypoténuse)
EF = ? (côté opposé à \(\widehat{EDF}\))
Théorème de Pythagore : \(DF^2 = DE^2 + EF^2\)
\(13^2 = 5^2 + EF^2\)
\(169 = 25 + EF^2\)
\(EF^2 = 144\)
\(EF = \sqrt{144} = 12\) cm
\(\cos(\widehat{EDF}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{DE}{DF} = \frac{5}{13}\)
\(\sin(\widehat{EDF}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{EF}{DF} = \frac{12}{13}\)
\(\tan(\widehat{EDF}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{EF}{DE} = \frac{12}{5}\)
\(\cos(\widehat{EDF}) = \frac{5}{13}\), \(\sin(\widehat{EDF}) = \frac{12}{13}\), \(\tan(\widehat{EDF}) = \frac{12}{5}\)
• Identification : L'angle est en D, donc le côté adjacent est DE, le côté opposé est EF
• Pythagore : Utilisé pour trouver le côté manquant
• Formules trigonométriques : Respectivement CAH-SOH-TOA
Angle aigu : Angle inférieur à 90° dans un triangle rectangle.
Triangle GHI rectangle en H
GH = 6 cm (côté adjacent à \(\widehat{HGI}\))
GI = 10 cm (hypoténuse)
HI = ? (côté opposé à \(\widehat{HGI}\))
Théorème de Pythagore : \(GI^2 = GH^2 + HI^2\)
\(10^2 = 6^2 + HI^2\)
\(100 = 36 + HI^2\)
\(HI^2 = 64\)
\(HI = \sqrt{64} = 8\) cm
\(\cos(\widehat{HGI}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{GH}{GI} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\sin(\widehat{HGI}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{HI}{GI} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\tan(\widehat{HGI}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{HI}{GH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
\(\cos(\widehat{HGI}) = \frac{3}{5}\), \(\sin(\widehat{HGI}) = \frac{4}{5}\), \(\tan(\widehat{HGI}) = \frac{4}{3}\)
• Identification : L'angle est en G, donc le côté adjacent est GH, le côté opposé est HI
• Simplification : Simplifier les fractions quand possible
• Vérification : \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) pour vérifier les résultats
Hypoténuse : Côté opposé à l'angle droit, c'est le côté le plus long.
Triangle JKL rectangle en K
JK = 8 cm (côté adjacent à \(\widehat{LJK}\))
KL = 6 cm (côté opposé à \(\widehat{LJK}\))
JL = ? (hypoténuse)
Théorème de Pythagore : \(JL^2 = JK^2 + KL^2\)
\(JL^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\)
\(JL = \sqrt{100} = 10\) cm
\(\cos(\widehat{LJK}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{JK}{JL} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\sin(\widehat{LJK}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{KL}{JL} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\tan(\widehat{LJK}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{KL}{JK} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
\(\cos(\widehat{LJK}) = \frac{4}{5}\), \(\sin(\widehat{LJK}) = \frac{3}{5}\), \(\tan(\widehat{LJK}) = \frac{3}{4}\)
• Identification : L'angle est en J, donc le côté adjacent est JK, le côté opposé est KL
• Pythagore : Utilisé pour trouver l'hypoténuse manquante
• Simplification : Réduire les fractions au maximum
Côté adjacent : Côté qui touche l'angle mais qui n'est pas l'hypoténuse.
Triangle MNP rectangle en P
MN = 10 cm (hypoténuse)
MP = 6 cm (côté adjacent à \(\widehat{PMN}\))
PN = ? (côté opposé à \(\widehat{PMN}\))
Théorème de Pythagore : \(MN^2 = MP^2 + PN^2\)
\(10^2 = 6^2 + PN^2\)
\(100 = 36 + PN^2\)
\(PN^2 = 64\)
\(PN = \sqrt{64} = 8\) cm
\(\cos(\widehat{PMN}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{MP}{MN} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\sin(\widehat{PMN}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{PN}{MN} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
\(\tan(\widehat{PMN}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{PN}{MP} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
\(\cos(\widehat{PMN}) = \frac{3}{5}\), \(\sin(\widehat{PMN}) = \frac{4}{5}\), \(\tan(\widehat{PMN}) = \frac{4}{3}\)
• Identification : L'angle est en M, donc le côté adjacent est MP, le côté opposé est PN
• Pythagore : Trouver le côté manquant
• Relations trigonométriques : S'assurer d'utiliser les bons côtés pour chaque fonction
Côté opposé : Côté en face de l'angle choisi, ne touchant pas l'angle.
Triangle QRS rectangle en R
QS = 15 cm (hypoténuse)
RS = 9 cm (côté opposé à \(\widehat{SQR}\))
QR = ? (côté adjacent à \(\widehat{SQR}\))
Théorème de Pythagore : \(QS^2 = QR^2 + RS^2\)
\(15^2 = QR^2 + 9^2\)
\(225 = QR^2 + 81\)
\(QR^2 = 144\)
\(QR = \sqrt{144} = 12\) cm
\(\cos(\widehat{SQR}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{QR}{QS} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)
\(\sin(\widehat{SQR}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{RS}{QS} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\)
\(\tan(\widehat{SQR}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{RS}{QR} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)
\(\cos(\widehat{SQR}) = \frac{4}{5}\), \(\sin(\widehat{SQR}) = \frac{3}{5}\), \(\tan(\widehat{SQR}) = \frac{3}{4}\)
• Identification : L'angle est en Q, donc le côté adjacent est QR, le côté opposé est RS
• Pythagore : Trouver le côté manquant
• Simplification : Réduire les fractions au maximum
Triangle 7-24-25 : Triangle rectangle classique avec des côtés proportionnels à 7, 24, 25.
Triangle TUV rectangle en U
TU = 7 cm (côté adjacent à \(\widehat{UTV}\))
UV = 24 cm (côté opposé à \(\widehat{UTV}\))
TV = ? (hypoténuse)
Théorème de Pythagore : \(TV^2 = TU^2 + UV^2\)
\(TV^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)
\(TV = \sqrt{625} = 25\) cm
\(\cos(\widehat{UTV}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{TU}{TV} = \frac{7}{25}\)
\(\sin(\widehat{UTV}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{UV}{TV} = \frac{24}{25}\)
\(\tan(\widehat{UTV}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{UV}{TU} = \frac{24}{7}\)
\(\cos(\widehat{UTV}) = \frac{7}{25}\), \(\sin(\widehat{UTV}) = \frac{24}{25}\), \(\tan(\widehat{UTV}) = \frac{24}{7}\)
• Identification : L'angle est en T, donc le côté adjacent est TU, le côté opposé est UV
• Pythagore : Vérifier que 7² + 24² = 25² (triangle pythagoricien)
• Formules : Appliquer les définitions de cos, sin, tan
Triangle 8-15-17 : Triangle rectangle classique avec des côtés proportionnels à 8, 15, 17.
Triangle WXY rectangle en Y
WX = 17 cm (hypoténuse)
WY = 8 cm (côté adjacent à \(\widehat{XWY}\))
XY = ? (côté opposé à \(\widehat{XWY}\))
Théorème de Pythagore : \(WX^2 = WY^2 + XY^2\)
\(17^2 = 8^2 + XY^2\)
\(289 = 64 + XY^2\)
\(XY^2 = 225\)
\(XY = \sqrt{225} = 15\) cm
\(\cos(\widehat{XWY}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{WY}{WX} = \frac{8}{17}\)
\(\sin(\widehat{XWY}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{XY}{WX} = \frac{15}{17}\)
\(\tan(\widehat{XWY}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{XY}{WY} = \frac{15}{8}\)
\(\cos(\widehat{XWY}) = \frac{8}{17}\), \(\sin(\widehat{XWY}) = \frac{15}{17}\), \(\tan(\widehat{XWY}) = \frac{15}{8}\)
• Identification : L'angle est en W, donc le côté adjacent est WY, le côté opposé est XY
• Pythagore : Vérifier que 8² + 15² = 17² (triangle pythagoricien)
• Applications : Ces valeurs sont fréquentes dans les exercices
Triangle 5-12-13 : Triangle rectangle classique avec des côtés proportionnels à 5, 12, 13.
Triangle ZAB rectangle en A
AB = 12 cm (côté adjacent à \(\widehat{BAZ}\))
AZ = 5 cm (côté opposé à \(\widehat{BAZ}\))
BZ = ? (hypoténuse)
Théorème de Pythagore : \(BZ^2 = AB^2 + AZ^2\)
\(BZ^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\)
\(BZ = \sqrt{169} = 13\) cm
\(\cos(\widehat{BAZ}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BZ} = \frac{12}{13}\)
\(\sin(\widehat{BAZ}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AZ}{BZ} = \frac{5}{13}\)
\(\tan(\widehat{BAZ}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AZ}{AB} = \frac{5}{12}\)
\(\cos(\widehat{BAZ}) = \frac{12}{13}\), \(\sin(\widehat{BAZ}) = \frac{5}{13}\), \(\tan(\widehat{BAZ}) = \frac{5}{12}\)
• Identification : L'angle est en A, donc le côté adjacent est AB, le côté opposé est AZ
• Pythagore : Vérifier que 5² + 12² = 13² (triangle pythagoricien)
• Ordre des lettres : Important pour identifier correctement les côtés
Triangle 7-24-25 : Triangle rectangle classique avec des côtés proportionnels à 7, 24, 25.
Triangle CDI rectangle en D
CI = 25 cm (hypoténuse)
DI = 7 cm (côté opposé à \(\widehat{DCI}\))
CD = ? (côté adjacent à \(\widehat{DCI}\))
Théorème de Pythagore : \(CI^2 = CD^2 + DI^2\)
\(25^2 = CD^2 + 7^2\)
\(625 = CD^2 + 49\)
\(CD^2 = 576\)
\(CD = \sqrt{576} = 24\) cm
\(\cos(\widehat{DCI}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{CD}{CI} = \frac{24}{25}\)
\(\sin(\widehat{DCI}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{DI}{CI} = \frac{7}{25}\)
\(\tan(\widehat{DCI}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{DI}{CD} = \frac{7}{24}\)
\(\cos(\widehat{DCI}) = \frac{24}{25}\), \(\sin(\widehat{DCI}) = \frac{7}{25}\), \(\tan(\widehat{DCI}) = \frac{7}{24}\)
• Identification : L'angle est en C, donc le côté adjacent est CD, le côté opposé est DI
• Pythagore : Vérifier que 7² + 24² = 25² (triangle pythagoricien)
• Applications : Ces triangles classiques sont très fréquents en trigonométrie
