Milieu d'un segment : Le milieu I d'un segment [AB] est le point tel que \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) ou \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors I(xI, yI) avec :
xI = (xA + xB)/2
yI = (yA + yB)/2
A(2,3) donc xA = 2 et yA = 3
B(6,7) donc xB = 6 et yB = 7
xI = (xA + xB)/2 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
yI = (yA + yB)/2 = (3 + 7)/2 = 10/2 = 5
Les coordonnées du milieu I sont (4, 5)
I(4, 5) est le milieu du segment [AB]
• Formule du milieu : I = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)
• Calcul : Additionner les coordonnées correspondantes et diviser par 2
• Vérification : Le point I est équidistant de A et B
Coordonnées négatives : Les formules restent valables même avec des coordonnées négatives.
C(-1,4) donc xC = -1 et yC = 4
D(3,-2) donc xD = 3 et yD = -2
xJ = (xC + xD)/2 = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1
yJ = (yC + yD)/2 = (4 + (-2))/2 = 2/2 = 1
Les coordonnées du milieu J sont (1, 1)
J(1, 1) est le milieu du segment [CD]
• Signe : Attention aux signes lors des additions (4 + (-2) = 2)
• Division : Diviser le résultat total par 2
• Vérification : J est équidistant de C et D
Parallélogramme : Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, ou dont les diagonales se coupent en leur milieu.
A(0,1), B(2,3), C(4,2), D(2,0)
Diagonale [AC] : milieu I = ((0+4)/2, (1+2)/2) = (2, 1.5)
Diagonale [BD] : milieu J = ((2+2)/2, (3+0)/2) = (2, 1.5)
I(2, 1.5) = J(2, 1.5)
Les diagonales ont le même milieu
ABCD est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu
• Propriété caractéristique : Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu
• Méthode : Calculer les milieux des deux diagonales
• Conclusion : Si les milieux sont identiques, c'est un parallélogramme
Point extrémité : Si B est le milieu de [AE], alors B = (A+E)/2, donc E = 2B - A.
A(1,2), B(4,5) et B est le milieu de [AE]
Si B est le milieu de [AE], alors B = (A + E)/2
Donc 2B = A + E
Et E = 2B - A
E = 2B - A = 2(4,5) - (1,2) = (8,10) - (1,2) = (7,8)
Milieu de [AE] = ((1+7)/2, (2+8)/2) = (4,5) = B ✓
Le point E a pour coordonnées (7, 8)
• Relation vectorielle : Si B milieu de [AE], alors \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE}\)
• Formule inverse : E = 2B - A
• Vérification : Toujours contrôler que le milieu est correct
Diagonales : Dans un quadrilatère ABCD, les diagonales sont [AC] et [BD].
A(1,1), B(3,2), C(4,4), D(2,3)
I = ((1+4)/2, (1+4)/2) = (2.5, 2.5)
J = ((3+2)/2, (2+3)/2) = (2.5, 2.5)
I(2.5, 2.5) = J(2.5, 2.5)
Les diagonales ont le même milieu
Les milieux des diagonales sont tous deux en (2.5, 2.5), donc ABCD est un parallélogramme
• Identification des diagonales : [AC] et [BD] dans l'ordre ABCD
• Calcul des milieux : Chaque diagonale a son propre milieu
• Propriété : Si les milieux sont égaux, le quadrilatère est un parallélogramme
Autres caractérisations : Un quadrilatère est un parallélogramme si ses côtés opposés sont égaux ou si deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
I(0,0), J(2,1), K(3,3), L(1,2)
Diagonale [IK] : milieu M₁ = ((0+3)/2, (0+3)/2) = (1.5, 1.5)
Diagonale [JL] : milieu M₂ = ((2+1)/2, (1+2)/2) = (1.5, 1.5)
M₁(1.5, 1.5) = M₂(1.5, 1.5)
\(\overrightarrow{IJ} = (2-0, 1-0) = (2, 1)\)
\(\overrightarrow{LK} = (3-1, 3-2) = (2, 1)\)
Donc \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}\) ⇒ IJKL est un parallélogramme
IJKL est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu
• Méthode 1 : Calculer les milieux des diagonales
• Méthode 2 : Montrer que deux côtés opposés sont égaux (\(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}\))
• Méthode 3 : Montrer que \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{KL}\) ou \(\overrightarrow{IL} = \overrightarrow{JK}\)
Construction d'un parallélogramme : Si ABCD est un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
A(2,1), B(5,3), C(7,6)
Dans un parallélogramme ABCD, on a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇒ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}\) ⇒ \(\overrightarrow{D} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AB} = (5-2, 3-1) = (3, 2)\)
\(\overrightarrow{D} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{AB} = (7,6) - (3,2) = (4,4)\)
\(\overrightarrow{AD} = (4-2, 4-1) = (2,3)\)
\(\overrightarrow{BC} = (7-5, 6-3) = (2,3)\)
Donc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ✓
Le point D a pour coordonnées (4, 4) pour que ABCD soit un parallélogramme
• Propriété vectorielle : ABCD parallélogramme ⇔ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)
• Formule : D = C - \(\overrightarrow{AB}\) ou D = A + \(\overrightarrow{BC}\)
• Vérification : Toujours contrôler avec une autre relation
Segment des milieux : Dans un quadrilatère, le segment joignant les milieux de deux côtés non consécutifs a des propriétés particulières.
Soit A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD, yD)
I = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2)
J = ((xC + xD)/2, (yC + yD)/2)
IJ = √[(xJ - xI)² + (yJ - yI)²]
= √[((xC+xD)/2 - (xA+xB)/2)² + ((yC+yD)/2 - (yA+yB)/2)²]
= √[(1/4)((xC+xD - xA-xB)² + (yC+yD - yA-yB)²)]
= (1/2)√[(xC+xD - xA-xB)² + (yC+yD - yA-yB)²]
La longueur IJ est égale à la moitié de la norme du vecteur \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\) divisé par 2
La longueur du segment joignant les milieux de [AB] et [CD] est : IJ = (1/2)√[(xC+xD - xA-xB)² + (yC+yD - yA-yB)²]
• Distance entre deux points : d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
• Milieu : Utiliser la formule du milieu
• Propriété : Dans un quadrilatère, le segment joignant les milieux de deux côtés opposés est relié aux diagonales
Relation vectorielle : Pour M milieu de [AB] et N milieu de [CD], on peut exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction des diagonales.
Soit A, B, C, D quatre points du plan
M milieu de [AB] ⇒ M = (A+B)/2
N milieu de [CD] ⇒ N = (C+D)/2
\(\overrightarrow{MN} = N - M = (C+D)/2 - (A+B)/2 = (C+D-A-B)/2\)
\(\overrightarrow{AC} = C - A\)
\(\overrightarrow{BD} = D - B\)
\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (C-A) + (D-B) = C + D - A - B\)
\(\overrightarrow{MN} = (C + D - A - B)/2 = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})/2\)
\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\)
• Relation de Chasles : Manipulation des vecteurs
• Milieu : M = (A+B)/2, donc \(\overrightarrow{OM} = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})/2\)
• Propriété : Le vecteur reliant les milieux de deux côtés opposés d'un quadrilatère est la demi-somme des diagonales
Centre de symétrie : Dans un parallélogramme, le centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales, qui est aussi le milieu de chaque diagonale.
A(1,2), B(4,5), C(6,3), D(3,0)
\(\overrightarrow{AB} = (3,3)\) et \(\overrightarrow{DC} = (3,3)\) ⇒ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇒ ABCD est un parallélogramme
Dans un parallélogramme, le centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales
Diagonale [AC] : milieu O = ((1+6)/2, (2+3)/2) = (3.5, 2.5)
Diagonale [BD] : milieu O' = ((4+3)/2, (5+0)/2) = (3.5, 2.5)
O = O', donc le centre de symétrie est bien O(3.5, 2.5)
Le point O est le milieu de [AC] et [BD], et O est invariant par la symétrie centrale de centre O
Le centre de symétrie du parallélogramme ABCD est le point O(3.5, 2.5)
• Centre de symétrie : Point d'intersection des diagonales dans un parallélogramme
• Propriété : Le centre de symétrie est le milieu de chaque diagonale
• Caractérisation : Le centre de symétrie est invariant par rotation de 180°
