Droites parallèles coupées par une sécante
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux.
- Identifier les droites parallèles et la sécante
- Repérer les angles alternes-internes
- Appliquer la propriété d'égalité
On a (d₁) // (d₂) et une sécante qui coupe ces droites
L'angle ∠ACD = 50° est donné
Les angles ∠BAC et ∠ACD sont des angles alternes-internes
Ils sont situés de part et d'autre de la sécante
Puisque (d₁) // (d₂), les angles alternes-internes sont égaux
Donc ∠BAC = ∠ACD
∠BAC = 50°
∠BAC = 50°
• Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont égaux
• Identification correcte des angles alternes-internes
• Application directe de la propriété
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont égaux.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante
Un angle correspondant mesure 75°
Les angles correspondants sont égaux lorsque les droites sont parallèles
Si un angle correspondant mesure 75°, alors l'autre mesure aussi 75°
L'autre angle correspondant mesure 75°
• Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants sont égaux
• Application directe de la propriété
Dans un triangle ABC, si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), alors : \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \)
Triangle ABC avec M ∈ [AB] et N ∈ [AC]
(MN) // (BC) donc on peut appliquer le théorème de Thalès
Données : AM = 3cm, AB = 9cm, AN = 2cm
\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)
\( \frac{3}{9} = \frac{2}{AC} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{2}{AC} \)
\( AC = 2 \times 3 = 6 \)
AC = 6 cm
• Théorème de Thalès : Si (MN) // (BC) alors les rapports sont égaux
• Égalité des rapports : \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)
• Résolution d'une équation proportionnelle
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux.
(d₁) // (d₂) donc les angles alternes-internes sont égaux
Les angles valent respectivement : 3x + 10 et 2x + 25
3x + 10 = 2x + 25
3x - 2x = 25 - 10
x = 15
Pour x = 15 : premier angle = 3(15) + 10 = 55°
second angle = 2(15) + 25 = 55°
Les angles sont bien égaux ✓
x = 15
• Propriété : Angles alternes-internes égaux
• Égalité des expressions algébriques
• Résolution d'équation du premier degré
Dans un triangle RST, si U ∈ [RS], V ∈ [RT] et \( \frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT} \), alors (UV) // (ST).
RST triangle, U ∈ [RS], V ∈ [RT]
RU = 4cm, RS = 12cm, RV = 3cm, RT = 9cm
\( \frac{RU}{RS} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{RV}{RT} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT} = \frac{1}{3} \)
Comme les rapports sont égaux, alors (UV) // (ST)
(UV) est parallèle à (ST)
• Réciproque de Thalès : Si rapports égaux alors droites parallèles
• Calcul des rapports de longueurs
• Égalité des rapports ⇒ parallélisme
Utilisation des propriétés d'angles alternes-internes, correspondants et supplémentaires.
Deux droites parallèles coupées par une transversale
Un angle connu permet de trouver les autres
Soit un angle adjacent de 110°
Alors ∠x est supplémentaire : ∠x = 180° - 110° = 70°
∠x est correspondant à un angle de 70° sur l'autre droite parallèle
∠x = 70°
• Angles adjacents supplémentaires = 180°
• Angles correspondants égaux
• Application des propriétés des droites parallèles
Dans un triangle DEF, si G ∈ [DE], H ∈ [DF] et (GH) // (EF), alors : \( \frac{DG}{DE} = \frac{DH}{DF} = \frac{GH}{EF} \)
Triangle DEF avec G ∈ [DE] et H ∈ [DF]
(GH) // (EF) donc on applique Thalès
Données : DG = 5cm, GE = 10cm, DF = 18cm
DE = DG + GE = 5 + 10 = 15cm
\( \frac{DG}{DE} = \frac{DH}{DF} \)
\( \frac{5}{15} = \frac{DH}{18} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{DH}{18} \)
DH = \( \frac{18}{3} = 6 \) cm
DH = 6 cm
• Théorème de Thalès : Rapports égaux avec droite parallèle
• Calcul de longueur totale : DE = DG + GE
• Proportionnalité des segments
Dans un triangle ABC, si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), alors : \( \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \)
Triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC)
AM = 4cm, MB = 6cm, MN = 3cm
AB = AM + MB = 4 + 6 = 10cm
\( \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \)
\( \frac{4}{10} = \frac{3}{BC} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{3}{BC} \)
2 × BC = 5 × 3
BC = \( \frac{15}{2} = 7.5 \) cm
BC = 7.5 cm
• Théorème de Thalès : Rapport des côtés parallèles
• Calcul de longueur totale
• Résolution d'équation proportionnelle
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors les droites sont parallèles.
Les angles correspondants valent 65° et 115°
65° ≠ 115°
Les angles correspondants ne sont pas égaux
Donc les droites (d₁) et (d₂) ne sont pas parallèles
Les droites (d₁) et (d₂) ne sont pas parallèles
• Réciproque : Angles correspondants égaux ⇒ droites parallèles
• Si angles différents ⇒ droites non parallèles
• Contraposée du théorème
Dans un triangle IJK, si L ∈ [IJ], M ∈ [IK] et \( \frac{IL}{LJ} = \frac{IM}{MK} \), alors (LM) // (JK).
\( \frac{IL}{LJ} = \frac{IM}{MK} = \frac{2}{3} \)
Si \( \frac{IL}{LJ} = \frac{2}{3} \), alors \( \frac{IL}{IJ} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \)
De même, \( \frac{IM}{IK} = \frac{2}{5} \)
\( \frac{IL}{IJ} = \frac{IM}{IK} = \frac{2}{5} \)
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (LM) // (JK)
La condition de la réciproque est vérifiée
(LM) est parallèle à (JK)
• Réciproque de Thalès : Rapports égaux ⇒ parallélisme
• Transformation des rapports : \( \frac{IL}{LJ} = \frac{IM}{MK} \Rightarrow \frac{IL}{IJ} = \frac{IM}{IK} \)
• Égalité des rapports ⇒ droites parallèles
