Alignement : Trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
- Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
- Vérifier la colinéarité : \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) ou \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3-1, 4-2) = (2, 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (5-1, 6-2) = (4, 4)\)
\(\overrightarrow{AB} = (2, 2)\) et \(\overrightarrow{AC} = (4, 4)\)
On remarque que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\)
Donc \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\) avec k = 2
\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 2×4 = 8 - 8 = 0\)
Les points A(1,2), B(3,4) et C(5,6) sont alignés car \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\).
• Colinéarité : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires ⟺ \(\exists k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\)
• Déterminant : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0 \Leftrightarrow\) les vecteurs sont colinéaires
• Interprétation : Les trois points appartiennent à la même droite
\(\overrightarrow{DE} = (x_E - x_D, y_E - y_D) = (2-(-1), 1-3) = (3, -2)\)
\(\overrightarrow{DF} = (x_F - x_D, y_F - y_D) = (5-(-1), -1-3) = (6, -4)\)
\(\overrightarrow{DF} = (6, -4)\) et \(\overrightarrow{DE} = (3, -2)\)
On remarque que \(\overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{DE}\)
Donc \(\overrightarrow{DF} = k\overrightarrow{DE}\) avec k = 2
\(\det(\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{DF}) = \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} = 3×(-4) - (-2)×6 = -12 + 12 = 0\)
Les points D(-1,3), E(2,1) et F(5,-1) sont alignés car \(\overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{DE}\).
• Colinéarité : \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{DF}\) sont colinéaires
• Déterminant : \(\det(\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{DF}) = 0\)
• Conclusion : Les trois points appartiennent à une même droite
\(\overrightarrow{AB} = (m-2, 3-1) = (m-2, 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (4-2, 5-1) = (2, 4)\)
Pour que A, B et C soient alignés, il faut que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) soient colinéaires
Cela signifie que \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} m-2 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (m-2)×4 - 2×2 = 4(m-2) - 4 = 4m - 8 - 4 = 4m - 12\)
\(4m - 12 = 0\)
\(4m = 12\)
\(m = 3\)
Pour que les points A(2,1), B(m,3) et C(4,5) soient alignés, il faut que m = 3.
• Condition d'alignement : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
• Résolution : Trouver la valeur du paramètre qui annule le déterminant
• Vérification : Pour m = 3, \(\overrightarrow{AB} = (1, 2)\) et \(\overrightarrow{AC} = (2, 4)\), donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{GH} = (2-0, 3-0) = (2, 3)\)
\(\overrightarrow{GI} = (4-0, 6-0) = (4, 6)\)
\(\overrightarrow{GI} = (4, 6)\) et \(\overrightarrow{GH} = (2, 3)\)
On remarque que \(\overrightarrow{GI} = 2\overrightarrow{GH}\)
Donc \(\overrightarrow{GI} = k\overrightarrow{GH}\) avec k = 2
\(\det(\overrightarrow{GH}, \overrightarrow{GI}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 2×6 - 3×4 = 12 - 12 = 0\)
Les points G(0,0), H(2,3) et I(4,6) sont alignés car \(\overrightarrow{GI} = 2\overrightarrow{GH}\).
• Colinéarité : \(\overrightarrow{GH}\) et \(\overrightarrow{GI}\) sont colinéaires
• Déterminant : \(\det(\overrightarrow{GH}, \overrightarrow{GI}) = 0\)
• Observation : Les coordonnées de I sont le double de celles de H par rapport à l'origine
\(\overrightarrow{JK} = (2-1, 3-1) = (1, 2)\)
\(\overrightarrow{JL} = (3-1, 5-1) = (2, 4)\)
\(\overrightarrow{JL} = (2, 4)\) et \(\overrightarrow{JK} = (1, 2)\)
On remarque que \(\overrightarrow{JL} = 2\overrightarrow{JK}\)
Donc \(\overrightarrow{JL} = k\overrightarrow{JK}\) avec k = 2
\(\det(\overrightarrow{JK}, \overrightarrow{JL}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1×4 - 2×2 = 4 - 4 = 0\)
Les points J(1,1), K(2,3) et L(3,5) appartiennent à une même droite car \(\overrightarrow{JL} = 2\overrightarrow{JK}\).
• Alignement : Trois points appartenant à une même droite sont alignés
• Colinéarité : \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{JL}\) sont colinéaires
• Droite affine : Les points sont sur la droite d'équation y = 2x - 1
\(\overrightarrow{PQ} = (3-1, k-2) = (2, k-2)\)
\(\overrightarrow{PR} = (5-1, 8-2) = (4, 6)\)
Pour que P, Q et R soient alignés, il faut que \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{PR}\) soient colinéaires
Cela signifie que \(\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = 0\)
\(\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ k-2 & 6 \end{vmatrix} = 2×6 - 4×(k-2) = 12 - 4(k-2) = 12 - 4k + 8 = 20 - 4k\)
\(20 - 4k = 0\)
\(20 = 4k\)
\(k = 5\)
Pour que les points P(1,2), Q(3,k) et R(5,8) soient alignés, il faut que k = 5.
• Condition d'alignement : \(\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = 0\)
• Résolution : Trouver la valeur du paramètre qui annule le déterminant
• Vérification : Pour k = 5, \(\overrightarrow{PQ} = (2, 3)\) et \(\overrightarrow{PR} = (4, 6)\), donc \(\overrightarrow{PR} = 2\overrightarrow{PQ}\)
\(\overrightarrow{ST} = (4-2, 2-(-1)) = (2, 3)\)
\(\overrightarrow{SU} = (6-2, 5-(-1)) = (4, 6)\)
\(\overrightarrow{SU} = (4, 6)\) et \(\overrightarrow{ST} = (2, 3)\)
On remarque que \(\overrightarrow{SU} = 2\overrightarrow{ST}\)
Donc \(\overrightarrow{SU} = k\overrightarrow{ST}\) avec k = 2
\(\det(\overrightarrow{ST}, \overrightarrow{SU}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 2×6 - 3×4 = 12 - 12 = 0\)
Les points S(2,-1), T(4,2) et U(6,5) sont alignés car \(\overrightarrow{SU} = 2\overrightarrow{ST}\).
• Colinéarité : \(\overrightarrow{ST}\) et \(\overrightarrow{SU}\) sont colinéaires
• Déterminant : \(\det(\overrightarrow{ST}, \overrightarrow{SU}) = 0\)
• Relation de proportionnalité : Chaque coordonnée de U est obtenue en ajoutant à S deux fois le vecteur ST
\(\overrightarrow{VW} = (3-1, 2-0) = (2, 2)\)
\(\overrightarrow{VX} = (5-1, 3-0) = (4, 3)\)
Pour que \(\overrightarrow{VW}\) et \(\overrightarrow{VX}\) soient colinéaires, il devrait exister un réel k tel que \(\overrightarrow{VX} = k\overrightarrow{VW}\)
Donc (4, 3) = k(2, 2) = (2k, 2k)
Cela impliquerait 4 = 2k et 3 = 2k
Donc k = 2 et k = 1.5, ce qui est impossible
\(\det(\overrightarrow{VW}, \overrightarrow{VX}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 2×3 - 2×4 = 6 - 8 = -2 \neq 0\)
Les points V(1,0), W(3,2) et X(5,3) ne sont pas alignés car \(\det(\overrightarrow{VW}, \overrightarrow{VX}) \neq 0\).
• Non-colinéarité : \(\overrightarrow{VW}\) et \(\overrightarrow{VX}\) ne sont pas colinéaires
• Déterminant : \(\det(\overrightarrow{VW}, \overrightarrow{VX}) \neq 0\)
• Conclusion : Les trois points ne sont pas sur une même droite
\(\overrightarrow{MN} = (2-t, 3-1) = (2-t, 2)\)
\(\overrightarrow{MO} = (4-t, 5-1) = (4-t, 4)\)
Pour que M, N et O soient alignés, il faut que \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MO}\) soient colinéaires
Cela signifie que \(\det(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MO}) = 0\)
\(\det(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MO}) = \begin{vmatrix} 2-t & 4-t \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (2-t)×4 - 2×(4-t) = 8-4t - 8+2t = -2t\)
\(-2t = 0\)
\(t = 0\)
Pour que les points M(t,1), N(2,3) et O(4,5) soient alignés, il faut que t = 0.
• Condition d'alignement : \(\det(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MO}) = 0\)
• Résolution : Trouver la valeur du paramètre qui annule le déterminant
• Vérification : Pour t = 0, M(0,1), N(2,3), O(4,5), donc \(\overrightarrow{MN} = (2,2)\) et \(\overrightarrow{MO} = (4,4)\), donc \(\overrightarrow{MO} = 2\overrightarrow{MN}\)
\(\overrightarrow{AB} = (c-a, d-b)\)
\(\overrightarrow{AC} = (e-a, f-b)\)
\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} c-a & e-a \\ d-b & f-b \end{vmatrix}\)
\(= (c-a)(f-b) - (d-b)(e-a)\)
\(= (c-a)(f-b) - (d-b)(e-a)\)
\(= cf - cb - af + ab - de + da + be - ba\)
\(= cf - cb - af + da + be - de\)
\(= ad - bc + cf - df + be - ae\)
Les points A(a,b), B(c,d) et C(e,f) sont alignés si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
ad - bc + cf - df + be - ae = 0
Les points A(a,b), B(c,d) et C(e,f) sont alignés si et seulement si ad - bc + cf - df + be - ae = 0.
• Formule générale : Pour trois points A(a,b), B(c,d), C(e,f), l'alignement est caractérisé par l'équation ad - bc + cf - df + be - ae = 0
• Utilité : Cette formule permet de vérifier l'alignement de trois points donnés par leurs coordonnées
• Origine : Elle découle du calcul du déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
