Critères d'Alignement de Points | Géométrie Plane Seconde

Si trois points A, B et C sont alignés, alors l'un des points est situé entre les deux autres.

Par exemple, si B est entre A et C, alors : AB + BC = AC

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si l'un des points est situé entre les deux autres.

Cela se traduit par une égalité de distances :

• AB + BC = AC (si B est entre A et C)
• AB + AC = BC (si A est entre B et C)
• AC + BC = AB (si C est entre A et B)

Soient les points A(0, 0), B(3, 4) et C(6, 8).

Calculons les distances :

• AB = √[(3-0)² + (4-0)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
• BC = √[(6-3)² + (8-4)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
• AC = √[(6-0)² + (8-0)²] = √(36 + 64) = √100 = 10

Vérifions : AB + BC = 5 + 5 = 10 = AC

Donc les points A, B et C sont alignés.

Soient les points D(1, 1), E(2, 3) et F(4, 5).

Calculons les distances :

• DE = √[(2-1)² + (3-1)²] = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.24
• EF = √[(4-2)² + (5-3)²] = √(4 + 4) = √8 ≈ 2.83
• DF = √[(4-1)² + (5-1)²] = √(9 + 16) = √25 = 5

Vérifions : DE + EF = √5 + √8 ≈ 5.07 ≠ 5 = DF

Donc les points D, E et F ne sont pas alignés.

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel k tel que \(\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}\).

Autrement dit, les vecteurs ont la même direction.

Soient A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) et C(x_C, y_C).

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si :

Cette expression est le déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Soient deux vecteurs \(\vec{u}(x_u, y_u)\) et \(\vec{v}(x_v, y_v)\).

Le déterminant de ces deux vecteurs est :

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Soient trois points A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) et C(x_C, y_C).

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si le déterminant suivant est nul :

Soient les points A(1, 2), B(3, 6) et C(5, 10).

Calculons le déterminant :

Le déterminant est nul, donc les points A, B et C sont alignés.

Les critères d'alignement permettent de :

• Déterminer si des points sont alignés
• Vérifier la validité d'une figure géométrique
• Identifier des points particuliers (centres de gravité, orthocentre, etc.)
• Étudier des configurations de points

• 1 Cartographie et positionnement
• 2 Dessin technique et architecture
• 3 Navigation et optimisation de routes
• 4 Analyse de données et interpolation

Nous avons A(2, 1), B(5, 3) et C(8, 5).

Calculons le déterminant :

Le déterminant est nul, donc les points A, B et C sont alignés.

Calculons les distances :

• AB = √[(5-2)² + (3-1)²] = √(9 + 4) = √13
• BC = √[(8-5)² + (5-3)²] = √(9 + 4) = √13
• AC = √[(8-2)² + (5-1)²] = √(36 + 16) = √52 = 2√13

Vérifions : AB + BC = √13 + √13 = 2√13 = AC

Donc les points sont alignés.

Les points A, B et C sont alignés sur la droite (AC).

Cherchons un point D(x, y) aligné avec A, B et C.

Le coefficient directeur de la droite (AB) est : m = (3-1)/(5-2) = 2/3

L'équation de la droite (AB) est : y - 1 = (2/3)(x - 2)

y = (2/3)x - 4/3 + 1 = (2/3)x - 1/3

Choisissons x = 11, alors y = (2/3) × 11 - 1/3 = 22/3 - 1/3 = 21/3 = 7

Donc D(11, 7) est aligné avec A, B et C.

Vérifions : \(\overrightarrow{AD} = (9, 6)\) et \(\overrightarrow{AB} = (3, 2)\)

On a : \(\overrightarrow{AD} = 3 \cdot \overrightarrow{AB}\), donc les vecteurs sont colinéaires.

Le point D(11, 7) est bien aligné avec A, B et C.

Des points sont alignés s'ils appartiennent tous à une même droite.

• Critère des distances : Un point est entre les deux autres (ex: AB + BC = AC)
• Critère des vecteurs : Les vecteurs formés par les points sont colinéaires
• Critère du déterminant : Le déterminant des vecteurs est nul

• Distance entre deux points : \( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)
• Déterminant de deux vecteurs : \( \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u \)
• Condition d'alignement : \( \begin{vmatrix} x_B - x_A & x_C - x_A \\ y_B - y_A & y_C - y_A \end{vmatrix} = 0 \)