Applications à la Perpendicularité | Géométrie Plane Seconde

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite est le point de la droite tel que la droite joignant le point à son projeté est perpendiculaire à la droite initiale.

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Le point d'intersection de la hauteur avec le côté opposé est le projeté orthogonal du sommet sur ce côté.

• Chaque triangle a trois hauteurs
• Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre
• La hauteur permet de calculer l'aire d'un triangle

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Elle est constituée de tous les points équidistants des extrémités du segment.

• La médiatrice est perpendiculaire au segment
• Elle passe par le milieu du segment
• Elle est l'axe de symétrie du segment
• Elle est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment

La perpendicularité permet de :

• Calculer la distance d'un point à une droite
• Déterminer la hauteur d'un triangle
• Construire des figures géométriques précises
• Résoudre des problèmes d'optimisation

• 1 Trouver la distance minimale entre un point et une route
• 2 Optimiser des itinéraires pour minimiser les distances
• 3 Dessin technique et architecture
• 4 Navigation et positionnement

La hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté [BC].

Elle coupe le côté [BC] (ou son prolongement) en un point H, qui est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

1. Trouvons un vecteur directeur de la droite (BC) :

\( \overrightarrow{BC} = (2-4, 5-1) = (-2, 4) \)

2. Un vecteur normal à (BC) est \( \vec{n} = (4, 2) \) (produit scalaire nul avec \( \overrightarrow{BC} \)).

3. La hauteur passant par A(1, 2) et de vecteur normal \( \vec{n} = (4, 2) \) a pour équation :

\( 4(x - 1) + 2(y - 2) = 0 \)

\( 4x - 4 + 2y - 4 = 0 \)

\( 4x + 2y - 8 = 0 \)

\( 2x + y - 4 = 0 \)

L'équation de la hauteur issue de A est : \( 2x + y - 4 = 0 \).

1. Trouvons l'équation de la droite (BC) :

\( \overrightarrow{BC} = (-2, 4) \), donc un vecteur normal est \( (4, 2) \)

Passant par B(4, 1) : \( 4(x - 4) + 2(y - 1) = 0 \)

\( 4x - 16 + 2y - 2 = 0 \)

\( 4x + 2y - 18 = 0 \)

\( 2x + y - 9 = 0 \)

2. Distance de A(1, 2) à la droite (BC) : \( 2x + y - 9 = 0 \)

\( d(A, (BC)) = \frac{|2 \times 1 + 1 \times 2 - 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 2 - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \)

La hauteur issue de A est la distance du point A à la droite (BC).

C'est la distance minimale entre A et un point de la droite (BC).

Cette distance est réalisée par le projeté orthogonal H de A sur (BC).

Donc la longueur de la hauteur issue de A est égale à la distance de A à la droite (BC).

• Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit
• Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé
• La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu

• Calculer des distances (distance d'un point à une droite)
• Déterminer la hauteur d'un triangle
• Identifier des points équidistants
• Construire des figures géométriques

• Le pied de la hauteur est le projeté orthogonal du sommet sur le côté opposé
• La distance d'un point à une droite est la distance entre ce point et son projeté orthogonal
• La médiatrice est l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment