Distance d'un Point à une Droite

Soient une droite (d) et un point A extérieur à cette droite. Pour tout point M de la droite (d) différent du projeté orthogonal H de A sur (d), on a :

La distance AH est donc la plus petite distance possible entre A et un point de la droite (d).

1 Le projeté orthogonal H de A sur (d) est le point de (d) le plus proche de A
2 La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (d)
3 La distance d(A, (d)) = AH

Soient une droite (d) d'équation ax + by + c = 0 et un point A(x_A, y_A). La distance de A à la droite (d) est donnée par la formule :

1 Le numérateur |ax_A + by_A + c| mesure l'écart algébrique du point A par rapport à la droite
2 Le dénominateur √(a² + b²) normalise cette mesure en fonction de l'orientation de la droite
3 La valeur absolue assure que la distance est positive

1 On identifie les coefficients : a = 3, b = -4, c = 12
2 On identifie les coordonnées de A : x_A = 2, y_A = -1
3 On applique la formule :
d(A, (d)) = |3×2 + (-4)×(-1) + 12| / √(3² + (-4)²)
4 On effectue les calculs :
d(A, (d)) = |6 + 4 + 12| / √(9 + 16) = |22| / √25 = 22/5
5 Donc la distance est 22/5 unités

Si le point A appartient déjà à la droite (d), alors sa distance à la droite est nulle.

En effet, dans ce cas, le projeté orthogonal de A sur (d) est A lui-même.

Pour une droite horizontale (d) : y = k, la distance de A(x_A, y_A) à (d) est :

Pour une droite verticale (d) : x = k, la distance de A(x_A, y_A) à (d) est :

Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est la distance du point A à la droite (BC).

Cette hauteur est utilisée pour calculer l'aire du triangle : Aire = (base × hauteur)/2

• 1 Détermination de la position relative d'un point et d'une droite
• 2 Construction de la médiatrice d'un segment
• 3 Résolution de problèmes d'optimisation
• 4 Calcul de distances dans des figures complexes

On peut construire le projeté orthogonal H de A sur la droite (d), puis mesurer la distance AH.

Étapes :

• Tracer la droite (d) et le point A
• Construire la perpendiculaire à (d) passant par A
• Marquer le point H d'intersection
• Calculer la distance AH

On peut d'abord calculer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur (d), puis calculer la distance AH.

Les coordonnées de H sont données par :

Puis AH = √[(x_H - x_A)² + (y_H - y_A)²]

Avec a=2, b=3, c=-6, x_A=1, y_A=4 :

d(A, (d)) = |2×1 + 3×4 - 6| / √(2² + 3²) = |8| / √13 = 8/√13

Calcul des coordonnées de H :

2×1 + 3×4 - 6 = 8, et 2² + 3² = 13

x_H = 1 - 2×(8/13) = 1 - 16/13 = -3/13

y_H = 4 - 3×(8/13) = 4 - 24/13 = 28/13

AH = √[(-3/13 - 1)² + (28/13 - 4)²] = √[(-16/13)² + (-24/13)²] = √[(256 + 576)/169] = √(832/169) = √(64×13/169) = 8√13/13 = 8/√13

Soient une droite (d), un point A extérieur à (d), et un point M quelconque de (d). Alors :

L'égalité n'a lieu que si M est le projeté orthogonal de A sur (d).

La distance d'un point à une droite est invariante par translation de la droite dans une direction parallèle à la droite.

Si (d') est une droite parallèle à (d) à distance k de (d), alors :

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, la hauteur issue de A a pour longueur :

Cette hauteur est la distance de A à la droite (BC).

La distance d'un point A à une droite (d) peut s'exprimer en fonction de l'angle entre une direction et la droite :

où θ est l'angle entre le vecteur et la normale à la droite.

1 Déterminer une équation de la droite (BC)
2 Identifier les coefficients a, b, c de l'équation ax + by + c = 0
3 Appliquer la formule de distance d(A, (d)) = |ax_A + by_A + c| / √(a² + b²)
4 Effectuer les calculs numériques

Les points B(0, 1) et C(4, -1) définissent la droite (BC).

Le coefficient directeur est : m = (-1-1)/(4-0) = -2/4 = -1/2

L'équation réduite est : y = mx + p, avec 1 = (-1/2)×0 + p, donc p = 1

Soit y = (-1/2)x + 1, ou encore x + 2y - 2 = 0

Avec a=1, b=2, c=-2, et A(2, 3), on a :

d(A, (BC)) = |1×2 + 2×3 - 2| / √(1² + 2²) = |6| / √5 = 6/√5

En rationalisant : d(A, (BC)) = 6√5/5

L'aire d'un triangle est donnée par la formule : Aire = (base × hauteur)/2

La base est la longueur BC : BC = √[(4-0)² + (-1-1)²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5

La hauteur est la distance de A à la droite (BC) : h = 6√5/5

Donc Aire = (2√5 × 6√5/5)/2 = (12×5/5)/2 = 12/2 = 6 unités²

On peut vérifier avec la formule du déterminant : Aire = (1/2)|det(AB, AC)|

AB = (-2, -2), AC = (2, -4)

det(AB, AC) = (-2)×(-4) - (-2)×2 = 8 + 4 = 12

Aire = (1/2)×12 = 6 unités²

On retrouve bien le même résultat.

• d(A, (d)) = min{AM | M ∈ (d)}
• d(A, (d)) = AH où H est le projeté orthogonal de A sur (d)
• d(A, (d)) = |ax_A + by_A + c| / √(a² + b²)

• La distance est toujours positive
• Elle est minimale entre A et la droite (d)
• Elle est nulle si A ∈ (d)

• Calcul de hauteurs dans un triangle
• Détermination de positions relatives
• Résolution de problèmes d'optimisation

Avec a=5, b=-12, c=15, et A(-1, 3) :

d(A, (d)) = |5×(-1) + (-12)×3 + 15| / √(5² + (-12)²)

= |-5 - 36 + 15| / √(25 + 144) = |-26| / √169 = 26/13 = 2

La distance de A à la droite (d) est 2 unités.

On prend [BC] comme base. Équation de (BC) : y = 6 (droite horizontale)

Distance de A(1, 2) à (BC) : d = |2 - 6| = 4 (hauteur)

Longueur de [BC] : BC = |7 - 4| = 3 (base)

Aire = (base × hauteur)/2 = (3 × 4)/2 = 6 unités²