Distance point-droite : \(d(M,(d)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- Identifier les coefficients a, b, c dans l'équation ax + by + c = 0
- Identifier les coordonnées (x₀, y₀) du point M
- Appliquer la formule de la distance
(d): x + y - 1 = 0, donc a = 1, b = 1, c = -1
M(2,3), donc x₀ = 2, y₀ = 3
|ax₀ + by₀ + c| = |1×2 + 1×3 + (-1)| = |2 + 3 - 1| = |4| = 4
√(a² + b²) = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2
d(M,(d)) = 4/√2 = (4√2)/2 = 2√2
La distance du point M(2,3) à la droite (d): x + y - 1 = 0 est 2√2
• Formule : \(d(M,(d)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• Numérateur : Valeur absolue de l'expression évaluée en M
• Dénominateur : Norme du vecteur normal à la droite
(d'): 2x - 3y + 5 = 0, donc a = 2, b = -3, c = 5
A(-1,4), donc x₀ = -1, y₀ = 4
|ax₀ + by₀ + c| = |2×(-1) + (-3)×4 + 5| = |-2 - 12 + 5| = |-9| = 9
√(a² + b²) = √(2² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13
d(A,(d')) = 9/√13 = (9√13)/13
La distance du point A(-1,4) à la droite (d'): 2x - 3y + 5 = 0 est (9√13)/13
• Signe des coefficients : Attention au signe de b = -3
• Valeur absolue : |-9| = 9
• Rationalisation : Multiplier numérateur et dénominateur par √13
A(1,2), B(4,1), C(2,5)
Pente de (BC): m = (5-1)/(2-4) = 4/(-2) = -2
Équation: y - 1 = -2(x - 4), donc y = -2x + 9
Forme cartésienne: 2x + y - 9 = 0
(BC): 2x + y - 9 = 0, donc a = 2, b = 1, c = -9
A(1,2), donc x₀ = 1, y₀ = 2
|ax₀ + by₀ + c| = |2×1 + 1×2 + (-9)| = |2 + 2 - 9| = |-5| = 5
√(a² + b²) = √(2² + 1²) = √5
d(A,(BC)) = 5/√5 = √5
La hauteur issue de A dans le triangle ABC est √5
• Hauteur : Distance du sommet au côté opposé
• Équation droite : Trouver l'équation de (BC) à partir de B et C
• Application : La hauteur est la distance du point A à la droite (BC)
(d"): y = 2x + 3 → y - 2x - 3 = 0 → -2x + y - 3 = 0
Donc a = -2, b = 1, c = -3
B(0,-2), donc x₀ = 0, y₀ = -2
|ax₀ + by₀ + c| = |(-2)×0 + 1×(-2) + (-3)| = |0 - 2 - 3| = |-5| = 5
√(a² + b²) = √((-2)² + 1²) = √(4 + 1) = √5
d(B,(d")) = 5/√5 = √5
La distance du point B(0,-2) à la droite (d"): y = 2x + 3 est √5
• Forme cartésienne : Toujours écrire ax + by + c = 0
• Attention au signe : a = -2, pas 2
• Simplification : 5/√5 = √5
L'axe des abscisses a pour équation y = 0, soit 0x + 1y + 0 = 0
Donc a = 0, b = 1, c = 0
C(3,-1), donc x₀ = 3, y₀ = -1
|ax₀ + by₀ + c| = |0×3 + 1×(-1) + 0| = |0 - 1 + 0| = |-1| = 1
√(a² + b²) = √(0² + 1²) = √1 = 1
d(C,(Ox)) = 1/1 = 1
La distance du point C(3,-1) à l'axe des abscisses est 1
• Propriété générale : La distance d'un point (x,y) à l'axe des abscisses est |y|
• Application : |−1| = 1
• Interprétation : Cela correspond à la valeur absolue de l'ordonnée
L'axe des ordonnées a pour équation x = 0, soit 1x + 0y + 0 = 0
Donc a = 1, b = 0, c = 0
D(-2,3), donc x₀ = -2, y₀ = 3
|ax₀ + by₀ + c| = |1×(-2) + 0×3 + 0| = |-2 + 0 + 0| = |-2| = 2
√(a² + b²) = √(1² + 0²) = √1 = 1
d(D,(Oy)) = 2/1 = 2
La distance du point D(-2,3) à l'axe des ordonnées est 2
• Propriété générale : La distance d'un point (x,y) à l'axe des ordonnées est |x|
• Application : |−2| = 2
• Interprétation : Cela correspond à la valeur absolue de l'abscisse
(d'''): x - y = 0, donc a = 1, b = -1, c = 0
E(1,1), donc x₀ = 1, y₀ = 1
|ax₀ + by₀ + c| = |1×1 + (-1)×1 + 0| = |1 - 1 + 0| = |0| = 0
√(a² + b²) = √(1² + (-1)²) = √(1 + 1) = √2
d(E,(d''')) = 0/√2 = 0
La distance du point E(1,1) à la droite (d'''): x - y = 0 est 0
• Point sur la droite : Si d(M,(d)) = 0, alors M ∈ (d)
• Vérification : 1 - 1 = 0, donc E(1,1) appartient à la droite
• Propriété : La distance d'un point à une droite est nulle si et seulement si le point est sur la droite
(d''''): 3x + 4y - 12 = 0, donc a = 3, b = 4, c = -12
F(5,0), donc x₀ = 5, y₀ = 0
|ax₀ + by₀ + c| = |3×5 + 4×0 + (-12)| = |15 + 0 - 12| = |3| = 3
√(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
d(F,(d'''')) = 3/5
La distance du point F(5,0) à la droite (d''''): 3x + 4y - 12 = 0 est 3/5
• Calcul simple : √25 = 5 (nombre entier)
• Fraction irréductible : 3/5 ne se simplifie pas davantage
• Approximation : 3/5 = 0.6 unités de distance
(d'''''): y = -x + 1 → y + x - 1 = 0 → x + y - 1 = 0
Donc a = 1, b = 1, c = -1
G(-1,-2), donc x₀ = -1, y₀ = -2
|ax₀ + by₀ + c| = |1×(-1) + 1×(-2) + (-1)| = |-1 - 2 - 1| = |-4| = 4
√(a² + b²) = √(1² + 1²) = √2
d(G,(d''''')) = 4/√2 = (4√2)/2 = 2√2
La distance du point G(-1,-2) à la droite (d'''''): y = -x + 1 est 2√2
• Forme cartésienne : Toujours transformer en ax + by + c = 0
• Rationalisation : Multiplier par √2/√2 pour simplifier
• Calcul algébrique : Attention aux signes lors du calcul
A(0,1), B(3,2), H(2,4)
Pente de (AB): m = (2-1)/(3-0) = 1/3
Équation: y - 1 = (1/3)(x - 0), donc y = (1/3)x + 1
Forme cartésienne: (1/3)x - y + 1 = 0 → multiplier par 3: x - 3y + 3 = 0
(AB): x - 3y + 3 = 0, donc a = 1, b = -3, c = 3
H(2,4), donc x₀ = 2, y₀ = 4
|ax₀ + by₀ + c| = |1×2 + (-3)×4 + 3| = |2 - 12 + 3| = |-7| = 7
√(a² + b²) = √(1² + (-3)²) = √(1 + 9) = √10
d(H,(AB)) = 7/√10 = (7√10)/10
La distance du point H(2,4) à la droite passant par A(0,1) et B(3,2) est (7√10)/10
• Équation droite : Trouver l'équation à partir de deux points
• Élimination fraction : Multiplier par 3 pour éviter les fractions
• Rationalisation : Multiplier numérateur et dénominateur par √10
