Projeté orthogonal : Point H de la droite (d) tel que (MH) ⊥ (d).
- Placer le compas en M et tracer un arc qui coupe (d) en deux points I et J
- Placer le compas en I puis en J avec un rayon plus grand que IM
- Tracer deux arcs qui se coupent en un point K
- Tracer la droite (MK), elle coupe (d) en H
Soit (d) une droite et M un point extérieur à (d)
On trace un arc de centre M qui coupe (d) en deux points I et J
On trace deux arcs de même rayon, un de centre I et un de centre J, qui se coupent en K
On trace la droite (MK) qui est perpendiculaire à (d)
Le point H est l'intersection de (MK) et de (d)
H est le projeté orthogonal de M sur (d), avec (MH) ⊥ (d) et H ∈ (d)
• Définition : H est le point de (d) tel que (MH) ⊥ (d)
• Construction : On utilise la méthode de la perpendiculaire
• Propriété : H est le point de (d) le plus proche de M
Axe des abscisses : Droite d'équation y = 0.
L'axe des abscisses a pour équation y = 0
La droite perpendiculaire à y = 0 passant par A(3,4) est x = 3
L'intersection de x = 3 et y = 0 est le point H(3,0)
H(3,0) ∈ (Ox) et (AH) ⊥ (Ox) car AH est verticale
Le projeté orthogonal de A(3,4) sur l'axe des abscisses est H(3,0)
• Propriété : Le projeté de M(x,y) sur (Ox) est H(x,0)
• Coordonnées : On garde l'abscisse et on annule l'ordonnée
• Généralisation : Pour la droite y = k, le projeté est (x,k)
Triangle rectangle : Triangle ayant un angle droit.
ABC est rectangle en A, donc BÂC = 90°
[AB] et [AC] sont les côtés adjacents à l'angle droit
La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC]
Le pied de la hauteur est le projeté orthogonal de A sur (BC)
Dans un triangle rectangle en A, la hauteur issue de A est le segment [AH] où H est le projeté orthogonal de A sur l'hypoténuse [BC]
• Définition : Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé
• Triangle rectangle : La hauteur issue de l'angle droit est liée aux projections
• Propriété : AH × BC = AB × AC (relation métrique)
Axe des ordonnées : Droite d'équation x = 0.
L'axe des ordonnées a pour équation x = 0
La droite perpendiculaire à x = 0 passant par B(2,-1) est y = -1
L'intersection de x = 0 et y = -1 est le point H(0,-1)
H(0,-1) ∈ (Oy) et (BH) ⊥ (Oy) car BH est horizontale
Le projeté orthogonal de B(2,-1) sur l'axe des ordonnées est H(0,-1)
• Propriété : Le projeté de M(x,y) sur (Oy) est H(0,y)
• Coordonnées : On annule l'abscisse et on garde l'ordonnée
• Généralisation : Pour la droite x = k, le projeté est (k,y)
Triangle isocèle : Triangle ayant deux côtés de même longueur.
ABC est isocèle en A, donc AB = AC
[BC] est la base du triangle isocèle
La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC]
La hauteur issue du sommet principal est aussi médiane et bissectrice
Le pied de la hauteur H est le milieu de [BC] et le projeté orthogonal de A sur (BC)
Dans un triangle isocèle ABC de sommet A, la hauteur issue de A est [AH] où H est le milieu de [BC] et le projeté orthogonal de A sur (BC)
• Propriété : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane et bissectrice
• Symétrie : La hauteur est l'axe de symétrie du triangle
• Orthogonalité : (AH) ⊥ (BC) et H est le milieu de [BC]
Équation de droite : y = mx + p où m est la pente.
(d): y = 2x + 1, donc la pente est m = 2
Si la droite a pour pente m = 2, alors la perpendiculaire a pour pente m' = -1/2
La droite perpendiculaire passant par C(-1,3) a pour équation : y - 3 = (-1/2)(x - (-1))
Donc y = (-1/2)x - 1/2 + 3 = (-1/2)x + 5/2
Résoudre le système : y = 2x + 1 et y = (-1/2)x + 5/2
2x + 1 = (-1/2)x + 5/2
2x + (1/2)x = 5/2 - 1
(5/2)x = 3/2
x = 3/5
y = 2(3/5) + 1 = 6/5 + 1 = 11/5
Le projeté orthogonal de C(-1,3) sur la droite y = 2x + 1 est H(3/5, 11/5)
• Pente perpendiculaire : Si m est la pente d'une droite, alors -1/m est la pente de la perpendiculaire
• Système d'équations : On résout pour trouver l'intersection
• Validation : Le point H vérifie l'équation de la droite initiale
Hauteur d'un triangle : Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
On veut la hauteur issue de C, donc elle doit être perpendiculaire à [AB]
Soit (AB) la droite contenant le segment [AB]
On trace la droite passant par C et perpendiculaire à (AB)
Le point H est l'intersection de la hauteur et du côté [AB]
H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)
La hauteur issue de C dans le triangle ABC est la droite (CH) où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)
• Définition : La hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé
• Projection : Le pied de la hauteur est le projeté orthogonal du sommet sur le côté opposé
• Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en l'orthocentre
Distance point-droite : \(d(M,(d)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
(d): x + y - 3 = 0, donc a = 1, b = 1, c = -3
M(4,2), donc x₀ = 4, y₀ = 2
\(d(M,(d)) = \frac{|1×4 + 1×2 + (-3)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\)
|4 + 2 - 3| = |3| = 3
\(\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(d(M,(d)) = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
La distance du point M(4,2) à la droite (d): x + y - 3 = 0 est \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
• Formule : Pour une droite ax + by + c = 0 et un point M(x₀,y₀)
• Distance : \(d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• Interprétation : Cette distance est la longueur MH où H est le projeté de M sur (d)
Parallélogramme : Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
ABCD est un parallélogramme donc (AB) // (DC) et (AD) // (BC)
On considère la droite contenant le côté [BC]
On trace la droite passant par A et perpendiculaire à (BC)
Le projeté H de A sur (BC) est l'intersection de cette perpendiculaire et de (BC)
La distance AH représente la hauteur du parallélogramme relative à la base [BC]
Le projeté orthogonal de A sur la droite (BC) dans le parallélogramme ABCD est le point H tel que (AH) ⊥ (BC)
• Construction : On trace la perpendiculaire à (BC) passant par A
• Application : Cette hauteur est utilisée pour calculer l'aire du parallélogramme
• Propriété : AH × BC = aire du parallélogramme
Origine du repère : Point O(0,0).
O(0,0), A(1,2), B(4,1)
Pente de (AB): \(m = \frac{1-2}{4-1} = \frac{-1}{3}\)
Équation: \(y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)\)
Donc: \(y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}\)
La pente perpendiculaire est \(m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3\)
La droite perpendiculaire passant par O(0,0) a pour équation: \(y = 3x\)
Résoudre: \(3x = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}\)
\(3x + \frac{1}{3}x = \frac{7}{3}\)
\(\frac{10}{3}x = \frac{7}{3}\)
\(x = \frac{7}{10}\)
\(y = 3 \times \frac{7}{10} = \frac{21}{10}\)
Le projeté orthogonal de l'origine O sur la droite (AB) est H(7/10, 21/10)
• Calcul de pente : \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
• Pente perpendiculaire : \(m' = -\frac{1}{m}\)
• Résolution : On résout le système formé par les deux équations
