Triangle : Figure géométrique formée de trois points non alignés et des segments qui les relient.
- Tracer un segment [AB] de longueur 5cm
- Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 3cm
- Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 4cm
- L'intersection des deux arcs est le point C
- Relier les points A, B et C
On trace un segment [AB] de longueur 5cm
On place le compas en A et on trace un arc de rayon 3cm
On place le compas en B et on trace un arc de rayon 4cm
Les deux arcs se coupent en un point C
On trace les segments [AC] et [BC] pour former le triangle ABC
Le triangle ABC est construit avec AB=5cm, BC=4cm, AC=3cm
• Inégalité triangulaire : 3+4 > 5, 3+5 > 4, 4+5 > 3
• Construction : Les arcs de cercles permettent de respecter les distances
• Unicité : Le triangle est unique à une isométrie près
Triangle isocèle : Triangle ayant deux côtés de même longueur.
On trace un segment [BC] de longueur 4cm
On trace deux arcs de cercle de rayon 6cm, un de centre B et un de centre C
L'intersection des deux arcs donne le point A (au-dessus de [BC])
On trace les segments [AB] et [AC]
Le triangle isocèle ABC est construit avec AB=AC=6cm et BC=4cm
• Propriété : Dans un triangle isocèle, les côtés égaux sont AB et AC
• Construction : L'arc de cercle garantit que AB = AC
• Hauteur : La hauteur issue de A est aussi médiane et bissectrice
Triangle rectangle : Triangle ayant un angle droit (90°).
On trace un segment [AB] de longueur 3cm
On construit une perpendiculaire à (AB) passant par A
Sur la perpendiculaire, on place C tel que AC=4cm
On trace le segment [BC] pour fermer le triangle
Le triangle rectangle ABC est construit avec Â=90°, AB=3cm, AC=4cm
• Théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5cm
• Hypoténuse : Le côté opposé à l'angle droit est [BC]
• Cathètes : Les côtés adjacents à l'angle droit sont [AB] et [AC]
Triangle équilatéral : Triangle ayant ses trois côtés égaux.
On trace un segment [AB] de longueur 5cm
On trace un arc de cercle de centre A et de rayon 5cm
On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5cm
L'intersection des deux arcs donne le point C
On trace les segments [AC] et [BC]
Le triangle équilatéral ABC est construit avec AB=BC=CA=5cm
• Angles : Chaque angle mesure 60°
• Hauteurs : Toutes les hauteurs sont aussi médianes et bissectrices
• Centre : Le centre du cercle inscrit coïncide avec le centre du cercle circonscrit
Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
On trace un segment [AB] de longueur 6cm
On trace deux arcs de cercle de centre A avec un rayon r > 3cm
On trace deux arcs de cercle de centre B avec le même rayon r
Les arcs se coupent en deux points I et J
On trace la droite (IJ) qui est la médiatrice de [AB]
La droite (IJ) est la médiatrice du segment [AB] de 6cm
• Propriété : Tout point de la médiatrice est équidistant de A et B
• Perpendicularité : La médiatrice est perpendiculaire à [AB]
• Milieu : La médiatrice passe par le milieu de [AB]
Bissectrice : Demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux.
On trace deux demi-droites [OA) et [OB) formant un angle de 60°
On trace un arc de cercle de centre O qui coupe [OA) en I et [OB) en J
On trace deux arcs de cercle de même rayon, un de centre I et un de centre J
Les deux arcs se coupent en un point K
On trace la demi-droite [OK) qui est la bissectrice de l'angle AÔB
La demi-droite [OK) est la bissectrice de l'angle de 60°
• Propriété : La bissectrice divise l'angle en deux angles égaux
• Distance : Tout point de la bissectrice est équidistant des côtés de l'angle
• Construction : La méthode garantit que l'angle est divisé exactement en deux
Somme des angles : La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Ĉ = 180° - 45° - 60° = 75°
On trace un segment [AB] de longueur 5cm
On construit un angle de 45° en A avec un côté portant [AB)
On construit un angle de 60° en B avec un côté portant [BA)
L'intersection des deux demi-droites issues de A et B est le point C
On trace les segments [AC] et [BC]
Le triangle ABC est construit avec AB=5cm, BÂC=45°, A^B^C=60°
• Somme des angles : 45° + 60° + 75° = 180°
• Construction : On utilise les angles pour déterminer la position de C
• Unicité : Le triangle est unique à une isométrie près
Cercle circonscrit : Cercle passant par les trois sommets d'un triangle.
On construit un triangle ABC quelconque
On trace la médiatrice de [AB] comme vu dans l'exercice 5
On trace la médiatrice de [AC] de la même manière
L'intersection des deux médiatrices est le point O, centre du cercle circonscrit
On trace le cercle de centre O et de rayon OA (qui vaut OB = OC)
Le cercle de centre O et de rayon OA est le cercle circonscrit au triangle ABC
• Propriété : Le centre du cercle circonscrit est équidistant des 3 sommets
• Construction : Le centre est l'intersection des médiatrices
• Unicité : Il existe un seul cercle circonscrit à un triangle
Hauteur d'un triangle : Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
On trace un segment [BC] de longueur 8cm
On trace la droite d parallèle à (BC) située à 3cm de (BC)
On trace le cercle de diamètre [BC], tout point sur ce cercle forme un angle droit avec [BC]
L'intersection du cercle et de la droite d donne le point A
On trace les segments [AB] et [AC] pour former le triangle rectangle ABC
Le triangle ABC est rectangle en A avec hypoténuse BC=8cm et hauteur issue de A = 3cm
• Théorème de Thalès : Un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle
• Hauteur : La distance du point A à la droite (BC) est 3cm
• Construction : On combine la propriété du cercle et la contrainte de hauteur
Médiane d'un triangle : Segment reliant un sommet au milieu du côté opposé.
On trace un segment [BC] de longueur 6cm
On construit le milieu I de [BC] en traçant la médiatrice
On trace la droite d parallèle à (BC) située à 4cm de (BC)
On trace le cercle de centre I et de rayon 5cm (longueur de la médiane)
L'intersection du cercle et de la droite d donne le point A
On trace les segments [AB] et [AC] pour former le triangle ABC
Le triangle ABC est construit avec BC=6cm, médiane issue de A = 5cm, hauteur issue de A = 4cm
• Médiane : AI = 5cm où I est le milieu de [BC]
• Hauteur : La distance de A à (BC) est 4cm
• Construction : On combine la contrainte de médiane et de hauteur
