Pour qu'un triangle existe, la somme de deux côtés doit être strictement supérieure au troisième côté.
- Identifier les trois côtés
- Vérifier les trois inégalités triangulaires
- Si toutes sont vérifiées, le triangle existe
Soient a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
a + b > c ?
3 + 4 > 5 ?
7 > 5 ✓
a + c > b ?
3 + 5 > 4 ?
8 > 4 ✓
b + c > a ?
4 + 5 > 3 ?
9 > 3 ✓
Oui, on peut construire un triangle avec les côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm.
• Inégalité triangulaire : a + b > c, a + c > b, b + c > a
• Triangle existant : Toutes les inégalités doivent être vérifiées
• Remarque : Ce triangle est rectangle (3² + 4² = 5²)
Si la somme de deux côtés est inférieure ou égale au troisième côté, le triangle n'existe pas.
- Identifier les trois côtés
- Vérifier les trois inégalités triangulaires
- Si une inégalité n'est pas vérifiée, le triangle n'existe pas
Soient a = 2 cm, b = 3 cm, c = 6 cm
a + b > c ?
2 + 3 > 6 ?
5 > 6 ✗
La première inégalité n'est pas vérifiée
Donc le triangle n'existe pas
a + c > b ? → 2 + 6 > 3 → 8 > 3 ✓
b + c > a ? → 3 + 6 > 2 → 9 > 2 ✓
Non, on ne peut pas construire un triangle avec les côtés 2 cm, 3 cm et 6 cm.
• Inégalité triangulaire : a + b > c, a + c > b, b + c > a
• Triangle inexistant : Une seule inégalité non vérifiée suffit
• Remarque : 2 + 3 = 5 < 6, donc le plus grand côté est trop long
Soient deux côtés connus a et b, alors le troisième côté c doit vérifier : |a-b| < c < a+b
- Identifier les deux côtés connus
- Appliquer la double inégalité
- Déterminer la plage possible pour le troisième côté
Soient deux côtés de longueurs a = 4 cm et b = 7 cm
On cherche les valeurs possibles pour le troisième côté c
Soit c le troisième côté
Alors |a - b| < c < a + b
Soit |4 - 7| < c < 4 + 7
Soit |−3| < c < 11
Soit 3 < c < 11
Le troisième côté doit être strictement compris entre 3 cm et 11 cm
Pour c = 5 cm : |4-7| = 3 < 5 < 11 ✓
Pour c = 10 cm : |4-7| = 3 < 10 < 11 ✓
Pour c = 2 cm : |4-7| = 3 > 2 ✗
Le troisième côté doit vérifier : 3 cm < c < 11 cm
• Double inégalité : |a-b| < c < a+b
• Plage possible : Entre la différence et la somme des deux côtés
• Contrôle : Vérifier que les bornes excluent les cas limites
Un triangle isocèle a deux côtés égaux. Si les deux côtés égaux mesurent 5 cm, on cherche la plage possible pour le troisième côté.
- Identifier les deux côtés égaux
- Appliquer la double inégalité
- Déterminer la plage possible pour le troisième côté
Soit un triangle isocèle avec deux côtés de 5 cm
Soit c la longueur du troisième côté
Les inégalités triangulaires sont :
5 + 5 > c → 10 > c → c < 10
5 + c > 5 → c > 0
5 + c > 5 → c > 0
c > 0 et c < 10
Donc 0 < c < 10
Le troisième côté peut prendre n'importe quelle valeur strictement comprise entre 0 et 10 cm
Dans un triangle isocèle avec deux côtés de 5 cm, le troisième côté doit vérifier : 0 cm < c < 10 cm
• Triangle isocèle : Deux côtés égaux
• Inégalité triangulaire : c < somme des deux autres côtés
• Positivité : c > 0 (longueur positive)
Un triangle équilatéral a trois côtés égaux. Vérifions que les inégalités triangulaires sont satisfaites.
- Identifier les trois côtés égaux
- Vérifier les trois inégalités triangulaires
- Conclure sur la validité du triangle
Soit un triangle équilatéral avec trois côtés de longueur a
Soient les côtés AB = BC = CA = a
AB + BC > CA ?
a + a > a ?
2a > a ?
2 > 1 (puisque a > 0) ✓
AB + CA > BC ?
a + a > a ?
2a > a ?
2 > 1 (puisque a > 0) ✓
BC + CA > AB ?
a + a > a ?
2a > a ?
2 > 1 (puisque a > 0) ✓
Un triangle équilatéral vérifie toujours les inégalités triangulaires et existe donc toujours.
• Triangle équilatéral : 3 côtés égaux
• Vérification : 2a > a est vrai pour a > 0
• Conclusion : Les triangles équilatéraux existent toujours
Soient deux côtés connus, déterminer la plage possible pour le troisième côté en utilisant les inégalités triangulaires.
- Identifier les côtés connus
- Appliquer la double inégalité
- Déterminer la plage pour le côté manquant
Soient deux côtés de longueurs 8 cm et 3 cm
Soit x la longueur du troisième côté
Soit a = 8 cm et b = 3 cm
Alors |a - b| < x < a + b
Soit |8 - 3| < x < 8 + 3
Soit 5 < x < 11
Pour x = 7 cm : |8-3| = 5 < 7 < 11 ✓
Pour x = 9 cm : |8-3| = 5 < 9 < 11 ✓
Pour x = 4 cm : |8-3| = 5 > 4 ✗
Pour x = 12 cm : 12 > 8+3 = 11 ✗
Le troisième côté doit être strictement compris entre 5 cm et 11 cm
Le troisième côté doit vérifier : 5 cm < x < 11 cm
• Double inégalité : |a-b| < c < a+b
• Plage de valeurs : Entre la différence et la somme des côtés connus
• Vérification : Contrôler les bornes de la plage
Si la somme de deux côtés égale le troisième côté, les trois points sont alignés (cas limite).
- Identifier les distances entre les points
- Vérifier si une somme égale le troisième
- Conclure sur l'alignement
Soient trois points A, B, C tels que :
AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 10 cm
AB + BC = 4 + 6 = 10 = AC
Donc AB + BC = AC
Quand la somme de deux côtés égale le troisième, les points sont alignés
Ici, A, B, C sont alignés dans cet ordre
Si AB + BC = AC, alors B est entre A et C
Si AB + AC = BC, alors A est entre B et C
Si AC + BC = AB, alors C est entre A et B
Les points A, B et C sont alignés car AB + BC = AC.
• Égalité triangulaire : AB + BC = AC ⇒ points alignés
• Ordre des points : B est entre A et C
• Cas limite : Triangle aplati
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté, et elle vérifie toujours l'inégalité triangulaire.
- Identifier les côtés d'un triangle rectangle
- Vérifier les inégalités triangulaires
- Observer la relation avec le théorème de Pythagore
Soit un triangle rectangle avec côtés de l'angle droit : 3 cm et 4 cm
Hypoténuse = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
3 + 4 > 5 ? → 7 > 5 ✓
3 + 5 > 4 ? → 8 > 4 ✓
4 + 5 > 3 ? → 9 > 3 ✓
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté
Mais elle est toujours inférieure à la somme des deux autres côtés
Pour un triangle rectangle avec côtés a, b et hypoténuse c :
On a c² = a² + b², donc c = √(a² + b²)
Et c < a + b (car √(a² + b²) < √((a+b)²) = a + b)
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse vérifie toujours l'inégalité triangulaire.
• Pythagore : c² = a² + b²
• Inégalité : c < a + b même dans un triangle rectangle
• Maximum : L'hypoténuse est le plus grand côté
Les inégalités triangulaires sont strictes (>) sauf dans le cas d'alignement où elles deviennent larges (=).
- Identifier le cas général (points non alignés)
- Identifier le cas limite (points alignés)
- Comprendre la différence entre les deux situations
Pour un triangle non plat (points non alignés) :
AB + BC > AC
AC + BC > AB
AB + AC > BC
Pour des points alignés (triangle aplati) :
AB + BC = AC (si B est entre A et C)
• Inégalité stricte : > → triangle existant
• Inégalité large : ≥ → triangle ou points alignés
Pour construire un triangle, on utilise les inégalités strictes
Pour vérifier l'alignement, on regarde si une somme égale le troisième côté
Les inégalités triangulaires strictes assurent l'existence d'un triangle, tandis que les inégalités larges incluent aussi le cas d'alignement.
• Strict : > → triangle existant
• Large : ≥ → triangle ou points alignés
• Distinction : Alignement vs triangle
Soient deux côtés d'un triangle de longueurs 5 cm et 8 cm. Le périmètre est de 20 cm. Quelle est la nature du triangle ?
- Calculer le troisième côté à partir du périmètre
- Vérifier l'existence du triangle
- Déterminer la nature du triangle
Périmètre = somme des trois côtés
20 = 5 + 8 + c
c = 20 - 5 - 8 = 7 cm
Soient a = 5 cm, b = 8 cm, c = 7 cm
5 + 8 > 7 ? → 13 > 7 ✓
5 + 7 > 8 ? → 12 > 8 ✓
8 + 7 > 5 ? → 15 > 5 ✓
Les trois côtés ont des longueurs différentes : 5 cm, 7 cm, 8 cm
Donc c'est un triangle scalène (aucun côté égal)
Le plus grand côté est 8 cm
Vérifions si 8² = 5² + 7² ? → 64 = 25 + 49 = 74 ? → Non
Comme 64 < 74, le triangle est acutangle (pas d'angle droit ou obtus)
Le triangle a des côtés de 5 cm, 7 cm et 8 cm. C'est un triangle scalène acutangle.
• Périmètre : Somme des trois côtés
• Inégalités : Vérifier l'existence du triangle
• Nature : Scalène (tous côtés différents)
• Angles : Comparer c² avec a² + b²
