Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur et ses trois angles égaux.
- Utiliser la propriété : somme des angles = 180°
- Étant donné que les 3 angles sont égaux
- Diviser 180° par 3
Soit α l'angle d'un triangle équilatéral
α + α + α = 180°
3α = 180°
α = 180° ÷ 3 = 60°
Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure 60°
• Somme des angles : A + B + C = 180°
• Équilatéral : 3 angles égaux
• Calcul : 180° ÷ 3 = 60°
Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux (les angles à la base).
- Identifier l'angle connu
- Utiliser la somme des angles = 180°
- Les deux autres angles sont égaux
Soit un triangle isocèle ABC avec AB = AC
L'angle A = 40°
Comme AB = AC, alors les angles B et C sont égaux
Soit B = C = β
A + B + C = 180°
40° + β + β = 180°
40° + 2β = 180°
2β = 180° - 40° = 140°
β = 70°
Les angles B et C mesurent chacun 70°
• Isocèle : 2 côtés égaux ⇒ 2 angles égaux
• Somme des angles : A + B + C = 180°
• Calcul algébrique : Résolution d'équation
Par côtés : équilatéral (3 côtés égaux), isocèle (2 côtés égaux), scalène (tous différents).
- Comparer les longueurs des côtés
- Compter combien de côtés sont égaux
- Classer selon la classification
Triangle ABC avec AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 5 cm
AB = AC = 5 cm
BC = 7 cm ≠ AB
Deux côtés sont égaux (AB = AC)
Le troisième côté est différent
C'est un triangle isocèle
Le triangle ABC est isocèle en A
• Équilatéral : 3 côtés égaux
• Isocèle : 2 côtés égaux
• Scalène : 3 côtés différents
Dans tout triangle, la somme des angles est égale à 180°.
- Additionner les angles connus
- Soustraire cette somme de 180°
- Le résultat est l'angle manquant
Triangle DEF avec D = 65° et E = 45°
On cherche l'angle F
D + E = 65° + 45° = 110°
F = 180° - (D + E)
F = 180° - 110° = 70°
D + E + F = 65° + 45° + 70° = 180° ✓
L'angle F mesure 70°
• Somme des angles : A + B + C = 180°
• Calcul : Angle manquant = 180° - (somme des angles connus)
• Vérification : Toujours contrôler que la somme fait 180°
Un triangle rectangle isocèle a un angle droit (90°) et deux côtés égaux.
- Identifier l'angle droit (90°)
- Les deux autres angles sont égaux
- Utiliser la somme des angles = 180°
Soit un triangle rectangle isocèle ABC rectangle en A
Donc AB = AC et l'angle A = 90°
Comme AB = AC, alors les angles B et C sont égaux
Soit B = C = β
A + B + C = 180°
90° + β + β = 180°
90° + 2β = 180°
2β = 180° - 90° = 90°
β = 45°
Les angles B et C mesurent chacun 45°
• Rectangle isocèle : 1 angle droit + 2 côtés égaux
• Angles égaux : 2 angles de 45°
• Vérification : 90° + 45° + 45° = 180°
Un triangle a 3 côtés, 3 sommets, 3 angles et la somme des angles est toujours 180°.
- Identifier les éléments du triangle
- Appliquer les propriétés connues
- Vérifier la cohérence des mesures
1. Somme des angles = 180°
2. Inégalité triangulaire : la somme de deux côtés est supérieure au troisième
3. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux
Soit un triangle avec côtés a, b, c
Alors a + b > c, a + c > b, b + c > a
Par côtés : équilatéral, isocèle, scalène
Par angles : acutangle (< 90°), rectangle (= 90°), obtusangle (> 90°)
Le plus grand côté est opposé au plus grand angle
Le plus petit côté est opposé au plus petit angle
Les propriétés des triangles incluent la somme des angles (180°), l'inégalité triangulaire et les relations entre côtés et angles.
• Somme des angles : A + B + C = 180°
• Inégalité triangulaire : a + b > c
• Relation côtés-angles : Plus grand côté ↔ plus grand angle
Acutangle : 3 angles aigus, Rectangle : 1 angle droit, Obtusangle : 1 angle obtus.
- Mesurer ou identifier les angles
- Comparer chaque angle à 90°
- Classifier selon la nomenclature
• Triangle acutangle : tous les angles sont < 90°
• Triangle rectangle : un angle = 90°
• Triangle obtusangle : un angle > 90°
Triangle avec angles 70°, 60°, 50°
Tous les angles sont < 90°, donc acutangle
Triangle avec angles 90°, 45°, 45°
Un angle est = 90°, donc rectangle
Triangle avec angles 100°, 40°, 40°
Un angle est > 90°, donc obtusangle
La classification selon les angles permet de distinguer les triangles acutangles, rectangles et obtusangles.
• Acutangle : Tous les angles < 90°
• Rectangle : Un angle = 90°
• Obtusangle : Un angle > 90°
• Contrôle : Somme des angles = 180°
Équilatéral, isocèle, rectangle, rectangle isocèle sont des triangles avec des propriétés spécifiques.
- Analyser les côtés et les angles
- Reconnaître les propriétés caractéristiques
- Identifier le type de triangle
• 3 côtés égaux
• 3 angles de 60°
• Centre de symétrie et 3 axes de symétrie
• 2 côtés égaux
• 2 angles égaux (à la base)
• 1 axe de symétrie
• 1 angle droit (90°)
• Hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)
• Théorème de Pythagore applicable
• 1 angle droit et 2 côtés égaux
• 2 angles de 45°
• Combinaison des propriétés des deux types
Chaque triangle particulier a des propriétés spécifiques qui facilitent les calculs et les démonstrations.
• Équilatéral : 3 côtés égaux, 3 angles de 60°
• Isocèle : 2 côtés égaux, 2 angles égaux
• Rectangle : 1 angle droit
• Rectangle isocèle : 1 angle droit + 2 côtés égaux
Dans un triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle et vice versa.
- Classer les côtés par longueur
- Classer les angles par mesure
- Vérifier la correspondance côté-angle
Dans un triangle, le côté le plus long est opposé à l'angle le plus grand
Le côté le plus court est opposé à l'angle le plus petit
Soit un triangle ABC avec AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm
Classement des côtés : AB < AC < BC
Angle opposé à AB (angle C) < angle opposé à AC (angle B) < angle opposé à BC (angle A)
Dans un triangle isocèle, les côtés égaux sont opposés aux angles égaux
Dans un triangle équilatéral, tous les côtés et angles sont égaux
Il existe une relation directe entre la longueur des côtés et la mesure des angles opposés dans un triangle.
• Relation côté-angle : Plus grand côté ↔ plus grand angle
• Classement : Ordre des côtés = ordre des angles opposés
• Isocèle : Côtés égaux ⇒ angles égaux
Soit un triangle ABC isocèle en A avec un angle B = 70°. Trouver tous les angles et identifier le type d'angle en A.
- Identifier les propriétés du triangle isocèle
- Utiliser la somme des angles
- Déterminer le type de chaque angle
Triangle ABC isocèle en A
Angle B = 70°
Dans un triangle isocèle en A, AB = AC
Donc les angles B et C sont égaux
Angle C = Angle B = 70°
A + B + C = 180°
A + 70° + 70° = 180°
A + 140° = 180°
A = 40°
Angles : A = 40°, B = 70°, C = 70°
Tous les angles sont < 90°, donc le triangle est acutangle
Les angles du triangle sont A = 40°, B = 70°, C = 70°. C'est un triangle isocèle acutangle.
• Isocèle : 2 côtés égaux ⇒ 2 angles égaux
• Somme des angles : A + B + C = 180°
• Classification : Acutangle si tous les angles < 90°
