Si A(xA, yA) et B(xB, yB) alors le milieu I a pour coordonnées :
I(\(\frac{x_A + x_B}{2}\), \(\frac{y_A + y_B}{2}\))
- Identifier les coordonnées des points A et B
- Appliquer la formule du milieu
- Calculer les coordonnées du point I
A(2,3) donc xA = 2 et yA = 3
B(6,7) donc xB = 6 et yB = 7
xI = \(\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
yI = \(\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I(4, 5)
I(4, 5)
• Formule du milieu : I(\(\frac{x_A + x_B}{2}\), \(\frac{y_A + y_B}{2}\))
• Coordonnées : On calcule séparément les abscisses et les ordonnées
• Vérification : AI = IB (distance égale des deux côtés)
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.
- Trouver le milieu I du segment [AB]
- Déterminer la direction perpendiculaire à [AB]
- Tracer la droite passant par I dans cette direction
xI = \(\frac{1 + 5}{2} = 3\)
yI = \(\frac{2 + 4}{2} = 3\)
Donc I(3, 3)
\(\vec{AB}\) = (5-1, 4-2) = (4, 2)
Un vecteur normal à [AB] est (-2, 4) ou (2, -4)
Soit M(x, y) un point de la médiatrice
\(\vec{IM} \cdot \vec{AB} = 0\)
(x-3, y-3) · (4, 2) = 0
4(x-3) + 2(y-3) = 0
4x - 12 + 2y - 6 = 0
4x + 2y - 18 = 0
2x + y - 9 = 0
L'équation de la médiatrice est : 2x + y - 9 = 0
• Définition : Droite perpendiculaire au segment passant par son milieu
• Équation : Utilisation du produit scalaire pour la perpendicularité
• Propriété : Tous les points de la médiatrice sont équidistants de A et B
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
- Tracer un arc de cercle de centre B qui coupe les côtés de l'angle
- Des points d'intersection, tracer deux arcs de même rayon
- Relier B au point d'intersection des deux arcs
Soit l'angle ABC formé par les demi-droites [BA) et [BC)
1. Tracer un arc de cercle de centre B qui coupe [BA) en D et [BC) en E
2. Avec le même rayon, tracer un arc de centre D
3. Avec le même rayon, tracer un arc de centre E qui coupe le précédent en F
4. Tracer la demi-droite [BF) qui est la bissectrice de l'angle ABC
La bissectrice de l'angle ABC est l'ensemble des points équidistants des côtés [BA) et [BC)
La bissectrice de l'angle ABC est la demi-droite [BF) obtenue par la construction décrite
• Définition : Partage l'angle en deux angles égaux
• Construction : Méthode au compas
• Propriété : Ensemble des points équidistants des côtés de l'angle
Un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment.
- Calculer la distance du point à chaque extrémité du segment
- Vérifier que ces distances sont égales
- Conclure que le point appartient à la médiatrice
Soit le segment [AB] avec A(1,1) et B(5,3)
Soit M(3,2) un point à tester
MA = \(\sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
MB = \(\sqrt{(3-5)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
MA = MB = \(\sqrt{5}\)
Puisque MA = MB, le point M appartient à la médiatrice du segment [AB]
• Propriété : MA = MB ⟺ M ∈ médiatrice de [AB]
• Distance : \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
• Conclusion : Égalité des distances implique appartenance à la médiatrice
La distance du point A(x0, y0) à la droite d'équation ax + by + c = 0 est :
d = \(\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- Identifier les coefficients de l'équation de la droite
- Identifier les coordonnées du point
- Appliquer la formule de la distance
Droite (d) : 3x + 4y - 5 = 0
Point A(1, 2)
a = 3, b = 4, c = -5
x0 = 1, y0 = 2
d = \(\frac{|3 \times 1 + 4 \times 2 + (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\)
d = \(\frac{|3 + 8 - 5|}{\sqrt{9 + 16}}\)
d = \(\frac{|6|}{\sqrt{25}}\)
d = \(\frac{6}{5}\)
La distance du point A(1, 2) à la droite (d) est \(\frac{6}{5}\) unités
• Formule : d = \(\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• Équation : La droite doit être sous forme ax + by + c = 0
• Application : Substituer les valeurs dans la formule
Soit M(x,y) un point quelconque de la médiatrice de [AB], alors MA = MB
- Poser MA² = MB² pour un point M(x,y) de la médiatrice
- Développer les expressions des distances
- Simplifier pour obtenir l'équation cartésienne
A(-1, 2) et B(3, 6)
Soit M(x, y) un point de la médiatrice
MA² = MB²
(x-(-1))² + (y-2)² = (x-3)² + (y-6)²
(x+1)² + (y-2)² = (x-3)² + (y-6)²
x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² - 6x + 9 + y² - 12y + 36
2x + 1 - 4y + 4 = -6x + 9 - 12y + 36
2x - 4y + 5 = -6x - 12y + 45
2x + 6x - 4y + 12y = 45 - 5
8x + 8y = 40
x + y = 5
L'équation de la médiatrice de [AB] est x + y - 5 = 0
• Propriété : MA = MB pour tout point M de la médiatrice
• Calcul : On élève au carré pour éviter les racines
• Simplification : Les termes x² et y² s'annulent
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la bissectrice de l'angle au sommet.
- Considérer un triangle isocèle ABC avec AB = AC
- Identifier la médiatrice de [BC]
- Démontrer qu'elle est aussi la bissectrice de l'angle BAC
Triangle ABC isocèle en A, donc AB = AC
H milieu de [BC], donc BH = HC
Dans les triangles ABH et ACH :
- AB = AC (hypothèse)
- AH commune
- BH = CH (H milieu de [BC])
Les triangles ABH et ACH sont égaux (cas LLL)
Donc ∠BAH = ∠CAH
Comme AH ⊥ BC et ∠BAH = ∠CAH, alors (AH) est à la fois :
- La médiatrice de [BC]
- La bissectrice de l'angle BAC
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est à la fois médiatrice de la base et bissectrice de l'angle au sommet.
• Isocèle : Deux côtés égaux
• Médiatrice : Perpendiculaire au milieu
• Bissectrice : Partage l'angle en deux angles égaux
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit.
- Considérer deux bissectrices du triangle
- Montrer qu'elles se rencontrent en un point I
- Démontrer que I est équidistant des trois côtés
Soit ABC un triangle, et (BI₁) et (CI₂) les bissectrices des angles ABC et ACB
Soit I leur point d'intersection
Puisque I ∈ (BI₁), I est équidistant de (AB) et (BC)
Puisque I ∈ (CI₂), I est équidistant de (AC) et (BC)
Donc I est équidistant de (AB), (BC) et (AC)
Cela signifie que I est à la même distance de tous les côtés du triangle
Comme I est équidistant de (AB) et (AC), I appartient à la bissectrice de l'angle BAC
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit, qui est équidistant des trois côtés du triangle.
• Concourance : Les trois bissectrices se rencontrent en un point
• Centre inscrit : Point équidistant des côtés du triangle
• Propriété : Chaque point de la bissectrice est équidistant des côtés
L'ensemble des points équidistants de deux points A et B est la médiatrice du segment [AB].
- Soit M un point tel que MA = MB
- Démontrer que M appartient à la médiatrice de [AB]
- Réciproquement, si M ∈ médiatrice de [AB], alors MA = MB
Soit M tel que MA = MB
Soit I le milieu de [AB]
Alors le triangle MAB est isocèle en M
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet est aussi hauteur
Donc (MI) ⊥ (AB)
Donc M appartient à la droite perpendiculaire à (AB) passant par I
Cette droite est la médiatrice de [AB]
Si M appartient à la médiatrice de [AB], alors (MI) ⊥ (AB) et IA = IB
Donc les triangles MAI et MBI sont égaux (côtés perpendiculaires égaux)
Donc MA = MB
Le lieu géométrique des points équidistants de A et B est la médiatrice du segment [AB].
• Caractérisation : MA = MB ⟺ M ∈ médiatrice de [AB]
• Géométrie : Triangle isocèle → médiane = hauteur
• Réciproque : M ∈ médiatrice ⟺ MA = MB
Soit A(0,0), B(4,0), C(2,4). Trouver le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
- Le centre du cercle circonscrit est équidistant des trois sommets
- C'est l'intersection des médiatrices des côtés
- On peut utiliser deux médiatrices pour trouver le point d'intersection
A(0,0), B(4,0), C(2,4)
On cherche O(x,y) tel que OA = OB = OC
OA² = OB²
x² + y² = (x-4)² + y²
x² = x² - 8x + 16
0 = -8x + 16
8x = 16
x = 2
OA² = OC²
x² + y² = (x-2)² + (y-4)²
x² + y² = x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16
0 = -4x + 4 - 8y + 16
4x + 8y = 20
x + 2y = 5
On a x = 2 et x + 2y = 5
Donc 2 + 2y = 5
2y = 3
y = 3/2
Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est O(2, 3/2).
• Centre circonscrit : Équidistant des sommets
• Médiatrices : Intersection des médiatrices
• Système : Résolution par conditions d'équidistance
