Question : Calculer la distance entre A(2, 3) et B(5, 7).
\( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)
Calcul :
\( x_A = 2, y_A = 3 \)
\( x_B = 5, y_B = 7 \)
\( AB = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} \)
\( AB = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
La distance AB est égale à 5 unités.
La formule de distance entre deux points dans un repère orthonormé est dérivée du théorème de Pythagore.
Question : Les points A(1, 2), B(3, 6) et C(5, 10) sont-ils alignés ?
Calculer les distances AB, BC et AC, puis vérifier si AB + BC = AC
Calcul des distances :
\( AB = \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(5-3)^2 + (10-6)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( AC = \sqrt{(5-1)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \)
Vérification : \( AB + BC = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = AC \)
Oui, les points A, B et C sont alignés.
Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si la somme de deux distances égale la troisième.
Cela correspond à la relation de Chasles pour les distances.
Question : Trouver la distance entre A(-1, 4) et B(2, -2).
Calcul :
\( x_A = -1, y_A = 4 \)
\( x_B = 2, y_B = -2 \)
\( AB = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-4)^2} \)
\( AB = \sqrt{(2+1)^2 + (-6)^2} \)
\( AB = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
La distance AB est égale à \( 3\sqrt{5} \) unités.
Ne pas oublier de conserver les signes lors de la soustraction des coordonnées.
Le carré d'une différence est toujours positif.
Question : Les points A(0, 0), B(3, 4) et C(6, 8) sont-ils alignés ?
Calcul des distances :
\( AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
\( BC = \sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
\( AC = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
Vérification : \( AB + BC = 5 + 5 = 10 = AC \)
Oui, les points A, B et C sont alignés.
Quand un point est à l'origine, les calculs sont souvent plus simples.
On peut aussi utiliser la méthode des coefficients directeurs.
Question : Trouver la distance entre A(√2, 1) et B(√2, 4).
Les points A et B ont la même abscisse, donc la distance est verticale.
Calcul :
\( x_A = \sqrt{2}, y_A = 1 \)
\( x_B = \sqrt{2}, y_B = 4 \)
\( AB = \sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 + (4-1)^2} \)
\( AB = \sqrt{0 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \)
La distance AB est égale à 3 unités.
Quand deux points ont la même abscisse, la distance est la valeur absolue de la différence des ordonnées.
De même, quand ils ont la même ordonnée, la distance est la valeur absolue de la différence des abscisses.
Question : Les points A(-2, 1), B(1, 3) et C(4, 5) sont-ils alignés ?
Calculer les coefficients directeurs des droites (AB) et (BC)
S'ils sont égaux, les points sont alignés.
Calcul des distances :
\( AB = \sqrt{(1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)
\( BC = \sqrt{(4-1)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)
\( AC = \sqrt{(4-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
Vérification : \( AB + BC = \sqrt{13} + \sqrt{13} = 2\sqrt{13} = AC \)
Oui, les points A, B et C sont alignés.
On peut aussi vérifier l'alignement en calculant les coefficients directeurs :
\( m_{AB} = \frac{3-1}{1-(-2)} = \frac{2}{3} \)
\( m_{BC} = \frac{5-3}{4-1} = \frac{2}{3} \)
Les coefficients sont égaux, donc les points sont alignés.
Question : Calculer la distance entre A(0, 5) et B(0, -3).
Les points A et B ont la même abscisse (0), donc la distance est verticale.
Calcul :
\( x_A = 0, y_A = 5 \)
\( x_B = 0, y_B = -3 \)
\( AB = \sqrt{(0-0)^2 + (-3-5)^2} \)
\( AB = \sqrt{0 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8 \)
La distance AB est égale à 8 unités.
Quand deux points ont la même abscisse, la distance est la valeur absolue de la différence des ordonnées.
\( AB = |y_B - y_A| \) si \( x_A = x_B \)
Question : Les points A(2, 1), B(4, 5) et C(6, 9) sont-ils alignés ?
Observation :
Les abscisses sont en progression arithmétique : 2, 4, 6
Les ordonnées sont en progression arithmétique : 1, 5, 9
Calcul des distances :
\( AB = \sqrt{(4-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(6-4)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( AC = \sqrt{(6-2)^2 + (9-1)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \)
Vérification : \( AB + BC = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = AC \)
Oui, les points A, B et C sont alignés.
Quand les coordonnées des points sont en progression arithmétique, les points sont alignés.
Cela correspond à une droite affine.
Question : Trouver la distance entre A(-3, -1) et B(1, 2).
Calcul :
\( x_A = -3, y_A = -1 \)
\( x_B = 1, y_B = 2 \)
\( AB = \sqrt{(1-(-3))^2 + (2-(-1))^2} \)
\( AB = \sqrt{(1+3)^2 + (2+1)^2} \)
\( AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
La distance AB est égale à 5 unités.
Quand on soustrait un nombre négatif, cela revient à ajouter son opposé.
\( a - (-b) = a + b \)
Question : Montrer que les points A(1, 1), B(4, 5) et C(7, 9) sont alignés.
- Méthode des distances : AB + BC = AC
- Méthode des coefficients directeurs
- Méthode vectorielle
Méthode 1 - Distances :
\( AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
\( BC = \sqrt{(7-4)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
\( AC = \sqrt{(7-1)^2 + (9-1)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
On a : \( AB + BC = 5 + 5 = 10 = AC \)
Méthode 2 - Coefficients directeurs :
\( m_{AB} = \frac{5-1}{4-1} = \frac{4}{3} \)
\( m_{BC} = \frac{9-5}{7-4} = \frac{4}{3} \)
Les points A, B et C sont alignés car AB + BC = AC.
Les points A, B, C sont alignés si et seulement si :
- AB + BC = AC (relation de Chasles)
- Ou \( m_{AB} = m_{BC} \) (coefficients directeurs égaux)
- Ou \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires
