Alignement et Distance entre Deux Points

1 On identifie les coordonnées :
A(x_A, y_A) = A(2, 3) et B(x_B, y_B) = B(5, 7)
2 On applique la formule :
AB = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²]
3 On effectue les calculs :
AB = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5

1 La distance entre A et B est de 5 unités
2 Cette distance est toujours positive
3 La distance est symétrique : AB = BA

Pour tous points A et B :
De plus, AB = 0 si et seulement si A = B

1 Pour tous points A et B :

2 Propriété 3 : Inégalité triangulaire
Pour tous points A, B, C :

Un triangle ABC est isocèle en A si :

On calcule donc les distances AB et AC et on vérifie si elles sont égales.

• 1 Calculer le périmètre d'un polygone
• 2 Vérifier si un quadrilatère est un losange
• 3 Calculer la longueur d'un segment
• 4 Trouver le centre d'un cercle

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si ils appartiennent à la même droite.

Autrement dit, B appartient au segment [AC] ou A appartient au segment [BC] ou C appartient au segment [AB].

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :

• AB + BC = AC (B est entre A et C)
• AB + AC = BC (A est entre B et C)
• AC + BC = AB (C est entre A et B)

Ceci découle de l'égalité dans l'inégalité triangulaire.

1 Calcul de AB :
AB = √[(3-1)² + (4-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2
2 Calcul de BC :
BC = √[(5-3)² + (6-4)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2
3 Calcul de AC :
AC = √[(5-1)² + (6-2)²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2
4 Vérification :
AB + BC = 2√2 + 2√2 = 4√2 = AC
Donc les points A, B et C sont alignés.

1 Calcul de AB :
AB = √[(1-0)² + (1-0)²] = √[1 + 1] = √2
2 Calcul de BC :
BC = √[(1-1)² + (0-1)²] = √[0 + 1] = 1
3 Calcul de AC :
AC = √[(1-0)² + (0-0)²] = √[1 + 0] = 1
4 Vérification :
AB + BC = √2 + 1 ≈ 2.41
AB + AC = √2 + 1 ≈ 2.41
AC + BC = 1 + 1 = 2
Aucune égalité n'est vérifiée, donc les points A, B et C sont non alignés.

Un repère (O, I, J) est dit orthonormé si :

• Le point O est l'origine du repère
• Le point I est sur l'axe des abscisses
• Le point J est sur l'axe des ordonnées
• (OI) ⊥ (OJ) - les axes sont perpendiculaires
• OI = OJ = 1 unité - les unités sont les mêmes sur les deux axes

Dans un repère orthonormé (O, I, J) :

La distance entre deux points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) est bien donnée par la formule :

Soient A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) deux points. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :

Le milieu I d'un segment [AB] est le point tel que :

Et I est situé exactement au milieu de [AB].

Si I est le milieu du segment [AB], alors :

Autrement dit, le milieu divise le segment en deux parties égales.

• 1 Soient A(2, 3) et B(8, 7)
• 2 Le milieu I a pour coordonnées : I((2+8)/2, (3+7)/2) = I(5, 5)
• 3 On peut vérifier que AI = IB = AB/2

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB].

Elle est constituée de tous les points équidistants de A et B :

Pour construire la médiatrice de [AB] :

• Placer le milieu I de [AB]
• Tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par I

L'ensemble des points M(x, y) situés à la distance r du point Ω(a, b) forme un cercle. Son équation est :

Cette équation découle directement de la formule de distance.

• Cercle de centre O(0, 0) et de rayon r : x² + y² = r²
• Cercle de centre Ω(2, 3) et de rayon 5 : (x - 2)² + (y - 3)² = 25

AB = √[(3-(-1))² + (4-2)²] = √[4² + 2²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5

BC = √[(2-3)² + (-1-4)²] = √[(-1)² + (-5)²] = √[1 + 25] = √26

AC = √[(2-(-1))² + (-1-2)²] = √[3² + (-3)²] = √[9 + 9] = √18 = 3√2

On compare les distances :
AB = 2√5 ≈ 4.47
BC = √26 ≈ 5.10
AC = 3√2 ≈ 4.24
Aucune paire de distances n'est égale, donc le triangle ABC n'est pas isocèle.

Pour vérifier si le triangle est rectangle, on vérifie si le carré de la plus grande distance est égal à la somme des carrés des deux autres distances.

BC est la plus grande distance : BC² = 26

AB² + AC² = (2√5)² + (3√2)² = 20 + 18 = 38

BC² ≠ AB² + AC², donc le triangle ABC n'est pas rectangle.

Le triangle ABC n'est ni isocèle ni rectangle. C'est un triangle scalène quelconque.

• AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²]
• AB ≥ 0 et AB = 0 ⟺ A = B
• AB = BA (symétrie)

• A, B, C alignés ⟺ AB + BC = AC ou AB + AC = BC ou AC + BC = AB
• Utilisation de l'égalité dans l'inégalité triangulaire

• Vérifier si un triangle est isocèle
• Vérifier si un triangle est rectangle
• Calculer des longueurs et des périmètres

AB = √[(3-0)² + (4-0)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

BC = √[(6-3)² + (0-4)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

AC = √[(6-0)² + (0-0)²] = √[36 + 0] = √36 = 6

AB = BC = 5, donc le triangle ABC est isocèle en B.

AC est la plus grande distance : AC² = 36

AB² + BC² = 25 + 25 = 50

En fait, AC² ≠ AB² + BC², donc le triangle n'est pas rectangle en B.

Vérifions en A : BC² = 25, AB² + AC² = 25 + 36 = 61 ≠ BC²

Vérifions en C : AB² = 25, AC² + BC² = 36 + 25 = 61 ≠ AB²

Le triangle ABC n'est pas rectangle.