Milieu, Médiatrice et Bissectrice | Géométrie Plane Seconde
Introduction aux notions de milieu, médiatrice et bissectrice
Découvrez les fondements de la géométrie dans un repère
Milieu d'un segment
Le point central
Soit un segment \([AB]\). Le milieu \(I\) de ce segment est le point qui partage le segment en deux parties égales.
Le milieu est à égale distance des extrémités du segment.
Dans un repère orthonormé, si \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors les coordonnées du milieu \(I\) sont :
Exemples de calcul du milieu
Calculs pas à pas
Soient les points \(A(2, 3)\) et \(B(6, 7)\). Trouvons le milieu \(I\) du segment \([AB]\).
Utilisons la formule :
Soient les points \(C(-1, 4)\) et \(D(3, -2)\). Trouvons le milieu \(J\) du segment \([CD]\).
Utilisons la formule :
Médiatrice d'un segment
Droite perpendiculaire passant par le milieu
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Elle partage le plan en deux demi-plans symétriques par rapport au segment.
Un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment.
Autrement dit, si \(M\) est un point de la médiatrice de \([AB]\), alors \(MA = MB\).
Propriétés de la médiatrice
Propriétés essentielles
La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment.
Cela signifie que le symétrique de l'une des extrémités par rapport à la médiatrice est l'autre extrémité.
La médiatrice du segment \([AB]\) est l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(MA = MB\).
C'est donc l'ensemble des points équidistants de \(A\) et de \(B\).
Bissectrice d'un angle
Demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Elle est située à l'intérieur de l'angle.
Un point appartient à la bissectrice d'un angle si et seulement s'il est équidistant des deux côtés de l'angle.
Autrement dit, si \(M\) est un point de la bissectrice de l'angle \(\widehat{BAC}\), alors les distances de \(M\) aux droites \((AB)\) et \((AC)\) sont égales.
Propriétés de la bissectrice
Propriétés essentielles
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.
Les deux côtés de l'angle sont symétriques par rapport à la bissectrice.
La bissectrice de l'angle \(\widehat{BAC}\) est l'ensemble des points \(M\) du plan tels que la distance de \(M\) à la droite \((AB)\) est égale à la distance de \(M\) à la droite \((AC)\).
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les médiatrices et bissectrices permettent d'identifier des propriétés des triangles :
- Le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'intersection des médiatrices
- Le centre du cercle inscrit dans un triangle est l'intersection des bissectrices
- Un triangle est isocèle si sa hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice de la base
- 1 Construction de routes équitables entre deux villes
- 2 Placement optimal d'installations publiques
- 3 Division équitable de terrains
- 4 Dessin technique et architecture
Exercice d'application
Problème complet
Soient les points \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\) et \(C(2, 4)\).
1. Calculer les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\).
2. Donner une équation de la médiatrice du segment \([AB]\).
3. Tracer la bissectrice de l'angle \(\widehat{BAC}\).
4. Vérifier que le point \(C\) est équidistant des droites \((AB)\) et \((AC)\).
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Les points sont \(A(0, 0)\) et \(B(4, 0)\).
Utilisons la formule du milieu :
Le segment \([AB]\) est horizontal (car A et B ont la même ordonnée).
La médiatrice est donc une droite verticale passant par le milieu \(I(2, 0)\).
Son équation est : \( x = 2 \).
L'angle \(\widehat{BAC}\) est formé par les demi-droites \([AB)\) et \([AC)\).
La bissectrice partage cet angle en deux angles égaux.
Elle est située entre les droites \((AB)\) et \((AC)\) et est équidistante de ces deux droites.
La droite \((AB)\) est l'axe des abscisses (\(y = 0\)).
La distance de \(C(2, 4)\) à \((AB)\) est : \( |4| = 4 \).
La droite \((AC)\) passe par \(A(0, 0)\) et \(C(2, 4)\). Son équation est \( y = 2x \), soit \( 2x - y = 0 \).
La distance de \(C(2, 4)\) à \((AC)\) est :
Erreur dans notre raisonnement... La distance de C à (AC) est 0 car C est sur la droite (AC).
En fait, la bissectrice de l'angle \(\widehat{BAC}\) est la demi-droite \([AC)\) elle-même dans ce cas particulier.
Résumé
Points clés
Point qui partage le segment en deux parties égales :
Droite perpendiculaire au segment passant par son milieu
Ensemble des points équidistants des extrémités du segment
Demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux
Ensemble des points équidistants des côtés de l'angle
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences