Inégalités Triangulaires | Géométrie Plane Seconde
Introduction aux inégalités triangulaires
Découvrez les conditions d'existence d'un triangle
Définition de l'inégalité triangulaire
Propriété fondamentale
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, pour un triangle ABC de côtés \(AB\), \(BC\) et \(AC\) :
Si l'une des inégalités devient une égalité, les trois points sont alignés.
Par exemple, si \( AB = BC + AC \), alors C appartient au segment [AB].
Conditions d'existence d'un triangle
Comment savoir si un triangle existe ?
Soient trois longueurs \(a\), \(b\) et \(c\). Pour qu'un triangle existe avec ces longueurs comme côtés, il faut que les trois inégalités triangulaires soient respectées.
Il suffit de vérifier que la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres :
Soient les longueurs 3 cm, 4 cm et 5 cm.
La plus grande longueur est 5 cm.
Vérifions : \( 5 < 3 + 4 = 7 \) → VRAI
Donc un triangle avec ces longueurs est possible.
Soient les longueurs 2 cm, 3 cm et 8 cm.
La plus grande longueur est 8 cm.
Vérifions : \( 8 < 2 + 3 = 5 \) → FAUX
Donc un triangle avec ces longueurs est impossible.
Applications et exemples
Utilisations pratiques
Peut-on construire un triangle avec les longueurs 6 cm, 8 cm et 10 cm ?
La plus grande longueur est 10 cm.
Vérifions : \( 10 < 6 + 8 = 14 \) → VRAI
Réponse : OUI, le triangle est constructible.
Peut-on construire un triangle avec les longueurs 4 cm, 5 cm et 9 cm ?
La plus grande longueur est 9 cm.
Vérifions : \( 9 < 4 + 5 = 9 \) → FAUX (9 = 9, pas strictement inférieur)
Réponse : NON, le triangle n'est pas constructible.
Peut-on construire un triangle avec les longueurs 1 cm, 10 cm et 12 cm ?
La plus grande longueur est 12 cm.
Vérifions : \( 12 < 1 + 10 = 11 \) → FAUX
Réponse : NON, le triangle n'est pas constructible.
Impossible de construire ce triangle !
Cas particuliers
Situations spéciales
Si l'une des inégalités triangulaires devient une égalité, les trois points sont alignés.
On dit alors que le triangle est dégénéré.
Par exemple, si \( AB = BC + AC \), alors C appartient au segment [AB].
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté.
Elle vérifie toujours l'inégalité triangulaire : hypoténuse < somme des deux autres côtés.
Exemple : triangle de côtés 3, 4 et 5 (hypoténuse) : \( 5 < 3 + 4 = 7 \).
Dans un triangle équilatéral de côté \(a\) : \( a < a + a = 2a \) → VRAI
Donc les triangles équilatéraux vérifient bien l'inégalité triangulaire.
Applications concrètes
Utilisations dans la vie courante
Les inégalités triangulaires permettent de déterminer si une configuration géométrique est possible :
- Savoir si trois distances peuvent correspondre aux côtés d'un triangle
- Comprendre pourquoi certaines constructions sont impossibles
- Calculer des distances minimales entre points
- 1 Calcul de distances minimales entre villes
- 2 Conception de structures stables
- 3 Navigation et positionnement
- 4 Dessin technique et architecture
Exercice d'application
Problème complet
Un architecte veut construire un pont reliant trois points A, B et C. Les distances sont les suivantes :
- AB = 12 km
- BC = 5 km
- AC = 8 km
1. Peut-on construire un triangle ABC avec ces distances ? Justifier.
2. Si oui, quel est le plus court chemin pour aller de A à C en passant par B ?
3. Quelle serait la distance minimale pour relier directement A et C ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Les longueurs sont : AB = 12 km, BC = 5 km, AC = 8 km
La plus grande longueur est AB = 12 km.
Vérifions : \( AB < BC + AC \) → \( 12 < 5 + 8 = 13 \) → VRAI
Donc un triangle ABC avec ces dimensions est possible.
Le chemin pour aller de A à C en passant par B est : AB + BC = 12 + 5 = 17 km
Ce trajet est de 17 km.
La distance directe de A à C est AC = 8 km.
Remarque : 8 km < 17 km, ce qui confirme l'inégalité triangulaire :
\( AC < AB + BC \) → \( 8 < 12 + 5 = 17 \)
Donc le chemin direct A → C est effectivement plus court que A → B → C.
Résumé
Points clés
Dans un triangle ABC, on a toujours :
Soient trois longueurs \(a\), \(b\) et \(c\). Pour qu'un triangle existe :
- Identifier la plus grande longueur
- Vérifier que cette longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres
- Si une égalité est atteinte, les points sont alignés (triangle dégénéré)
- Si une longueur est supérieure ou égale à la somme des deux autres, le triangle est impossible
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences