Projeté Orthogonal - Définition et Construction

Soient une droite (d) et un point A extérieur à cette droite. Il existe un unique point H sur (d) tel que (AH) ⊥ (d).

Cette propriété découle du cinquième postulat d'Euclide : par un point extérieur à une droite, il passe une unique perpendiculaire à cette droite.

1 Pour tout point M de (d) différent de H : AH < AM
2 La distance AH est appelée distance du point A à la droite (d)
3 Cette distance est minimale : AH = inf{AM | M ∈ (d)}

• Règle graduée
• Équerre (ou compas et règle)
• Crayon à papier

1 Tracer la droite (d) et placer le point A extérieur à (d)
2 Positionner l'équerre de sorte qu'un côté soit aligné avec la droite (d)
3 Faire glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté passe par le point A
4 Tracer la perpendiculaire depuis A jusqu'à la droite (d)
5 Le point d'intersection est le projeté orthogonal H

1 Tracer la droite (d) et placer le point A extérieur à (d)
2 Placer la pointe du compas sur A et tracer un arc de cercle qui coupe la droite (d) en deux points B et C
3 Conserver la même ouverture du compas et tracer un arc de centre B passant par A
4 Tracer un arc de centre C avec la même ouverture, passant par A
5 Le deuxième point d'intersection des arcs est le symétrique de A par rapport à (d)
6 Tracer la droite reliant A à son symétrique : elle coupe (d) en H

• Ne nécessite pas d'équerre
• Plus précise que la méthode manuelle
• Fondée sur des propriétés géométriques

Si le point A appartient déjà à la droite (d), alors son projeté orthogonal sur (d) est lui-même.

En effet, la distance de A à la droite est nulle, donc A est le point de la droite le plus proche de A.

La projection orthogonale d'un point sur un segment [BC] peut être :

• Le projeté orthogonal H sur la droite (BC), si H ∈ [BC]
• Le point B, si H est en dehors de [BC] du côté de B
• Le point C, si H est en dehors de [BC] du côté de C

Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé [BC].

Le pied de cette hauteur est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

• 1 Calcul de distance d'un point à une droite
• 2 Construction de la médiatrice d'un segment
• 3 Recherche de points équidistants
• 4 Résolution de problèmes d'optimisation

Soient une droite (d) d'équation ax + by + c = 0 et un point A(x_A, y_A).

Le projeté orthogonal H(x_H, y_H) de A sur (d) a pour coordonnées :

Soit la droite (d) : 2x + 3y - 6 = 0 et le point A(1, 4).

Alors a=2, b=3, c=-6, x_A=1, y_A=4

ax_A + by_A + c = 2×1 + 3×4 - 6 = 8

a² + b² = 4 + 9 = 13

x_H = 1 - 2×(8/13) = 1 - 16/13 = -3/13

y_H = 4 - 3×(8/13) = 4 - 24/13 = 28/13

Soient une droite (d) d'équation ax + by + c = 0 et un point A(x_A, y_A).

La distance de A à la droite (d) est :

Cette distance correspond à la longueur du segment [AH] où H est le projeté orthogonal de A sur (d).

La distance d'un point à une droite est la distance minimale entre ce point et n'importe quel point de la droite.

Cette distance est atteinte uniquement au projeté orthogonal.

Soient A un point et (d) une droite. Si H est le projeté orthogonal de A sur (d), alors le symétrique A' de A par rapport à (d) est tel que H est le milieu de [AA'].

• 1 La projection conserve l'alignement
• 2 La projection conserve les rapports de longueurs sur une droite
• 3 La projection orthogonale est une transformation linéaire

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, la hauteur issue de A coupe l'hypoténuse [BC] en H.

Alors H est le projeté orthogonal de A sur (BC), et on a :

La projection orthogonale d'un segment [AB] sur une droite (d) a une longueur égale à :

1 Tracer la droite (BC) passant par B(1, 2) et C(4, 5)
2 Placer le point A(3, 1)
3 Utiliser l'équerre pour tracer la perpendiculaire à (BC) passant par A
4 Marquer le point H d'intersection entre la perpendiculaire et (BC)
5 Vérifier que (AH) ⊥ (BC)

Les points B(0, 1) et C(4, -1) définissent la droite (BC).

Le coefficient directeur est : m = (-1-1)/(4-0) = -2/4 = -1/2

L'équation réduite est : y = mx + p, avec 1 = (-1/2)×0 + p, donc p = 1

Soit y = (-1/2)x + 1, ou encore x + 2y - 2 = 0

Avec a=1, b=2, c=-2, et A(2, 3), on a :

ax_A + by_A + c = 1×2 + 2×3 - 2 = 6

a² + b² = 1 + 4 = 5

x_H = 2 - 1×(6/5) = 2 - 6/5 = 4/5

y_H = 3 - 2×(6/5) = 3 - 12/5 = 3/5

Donc H(4/5, 3/5)

On utilise la formule : d(A, (BC)) = |ax_A + by_A + c| / √(a² + b²)

Avec a=1, b=2, c=-2, et A(2, 3) :

d(A, (BC)) = |1×2 + 2×3 - 2| / √(1² + 2²) = |6| / √5 = 6/√5

En rationalisant : d(A, (BC)) = 6√5/5

On peut vérifier en calculant la distance entre A(2, 3) et H(4/5, 3/5) :

AH = √[(2-4/5)² + (3-3/5)²] = √[(6/5)² + (12/5)²] = √[36/25 + 144/25] = √[180/25] = √180/5 = 6√5/5

On retrouve bien la même valeur.

• H est le projeté orthogonal de A sur (d) ⟺ H ∈ (d) et (AH) ⊥ (d)
• Le projeté orthogonal est unique
• H est le point de (d) le plus proche de A

• Avec équerre : tracer la perpendiculaire à (d) passant par A
• Au compas : méthode basée sur la symétrie

• Hauteurs dans un triangle
• Calcul de distances point-droite
• Symétrie orthogonale

Le coefficient directeur de (AB) est : m = (6-2)/(4-1) = 4/3

L'équation réduite est : y - 2 = (4/3)(x - 1), soit y = (4/3)x + 2/3

Équation cartésienne : 4x - 3y + 2 = 0

Pour C(3, 1) : 4×3 - 3×1 + 2 = 11

Donc x_H = 3 - 4×(11/25) = 3 - 44/25 = 31/25

y_H = 1 - (-3)×(11/25) = 1 + 33/25 = 58/25

Le projeté orthogonal est H(31/25, 58/25)

Distance = |3×2 - 4×(-1) + 12| / √(3² + (-4)²) = |6 + 4 + 12| / √(9 + 16) = 22/√25 = 22/5

La distance de M à la droite (d) est 22/5 unités.