Perpendicularité : Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
- Identifier les coefficients a₁, b₁ de la première droite
- Identifier les coefficients a₂, b₂ de la deuxième droite
- Vérifier si a₁a₂ + b₁b₂ = 0
(d₁): 2x + 3y - 5 = 0 → a₁ = 2, b₁ = 3
(d₂): 3x - 2y + 4 = 0 → a₂ = 3, b₂ = -2
a₁a₂ + b₁b₂ = 2×3 + 3×(-2) = 6 - 6 = 0
Comme a₁a₂ + b₁b₂ = 0, les droites sont perpendiculaires
Les droites (d₁) et (d₂) sont perpendiculaires car a₁a₂ + b₁b₂ = 0
• Condition de perpendicularité : Pour (d₁): a₁x + b₁y + c₁ = 0 et (d₂): a₂x + b₂y + c₂ = 0
• Critère : (d₁) ⊥ (d₂) ⟺ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
• Interprétation : Les vecteurs normaux sont orthogonaux
A(1,2), B(4,1), C(2,5)
Pente de (BC): m = (5-1)/(2-4) = 4/(-2) = -2
Équation: y - 1 = -2(x - 4) → y = -2x + 9
Forme cartésienne: 2x + y - 9 = 0
La pente perpendiculaire est m' = -1/(-2) = 1/2
Équation: y - 2 = (1/2)(x - 1) → y = (1/2)x + 3/2
Résoudre le système: y = -2x + 9 et y = (1/2)x + 3/2
-2x + 9 = (1/2)x + 3/2
-2x - (1/2)x = 3/2 - 9
-(5/2)x = -15/2
x = 3
y = -2(3) + 9 = 3
La hauteur issue de A dans le triangle ABC a pour équation y = (1/2)x + 3/2 et coupe [BC] en H(3,3)
• Définition : La hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé
• Pente perpendiculaire : Si m est la pente d'une droite, la pente perpendiculaire est -1/m
• Intersection : Le pied de la hauteur est le projeté orthogonal du sommet sur le côté opposé
A(-1,3), B(3,1)
I = ((-1+3)/2, (3+1)/2) = (1,2)
m = (1-3)/(3-(-1)) = -2/4 = -1/2
m' = -1/(-1/2) = 2
La médiatrice passe par I(1,2) avec pente m' = 2
y - 2 = 2(x - 1)
y = 2x - 2 + 2 = 2x
L'équation de la médiatrice de [AB] est y = 2x
• Définition : La médiatrice est la droite perpendiculaire à un segment en son milieu
• Propriété : Tous les points de la médiatrice sont équidistants des extrémités
• Construction : Passer par le milieu avec pente perpendiculaire
A(2,3), B(5,7), C(4,1), D(8,-2)
\(\overrightarrow{AB} = (5-2, 7-3) = (3, 4)\)
\(\overrightarrow{CD} = (8-4, -2-1) = (4, -3)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 3×4 + 4×(-3) = 12 - 12 = 0\)
Comme \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\), les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires car \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\)
• Produit scalaire : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'\) pour \(\overrightarrow{u}(x,y)\) et \(\overrightarrow{v}(x',y')\)
• Condition de perpendicularité : Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
• Interprétation : Le produit scalaire nul signifie un angle droit entre les droites
O(0,0) centre du cercle, rayon r = 3, A(3,0) point sur le cercle
OA = √[(3-0)² + (0-0)²] = √9 = 3 = rayon ✓
\(\overrightarrow{OA} = (3, 0)\)
La tangente est perpendiculaire au rayon [OA]
Puisque [OA] est horizontal (pente = 0), la tangente est verticale
La tangente passe par A(3,0) et est verticale
Équation: x = 3
L'équation de la tangente au cercle en A(3,0) est x = 3
• Définition : La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon en ce point
• Propriété : Une tangente touche le cercle en un seul point
• Construction : Passer par le point de contact avec direction perpendiculaire au rayon
M(4,-1), (d): 3x - 4y + 2 = 0
Donc a = 3, b = -4, c = 2, x₀ = 4, y₀ = -1
\(d(M,(d)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
|ax₀ + by₀ + c| = |3×4 + (-4)×(-1) + 2| = |12 + 4 + 2| = |18| = 18
√(a² + b²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
d(M,(d)) = 18/5
La distance du point M(4,-1) à la droite (d): 3x - 4y + 2 = 0 est 18/5
• Formule : \(d(M,(d)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) pour (d): ax + by + c = 0
• Interprétation : La distance est la longueur du segment reliant M à son projeté orthogonal sur (d)
• Application : Utile pour calculer des hauteurs dans des triangles
A(0,0), B(3,4), C(-4,3)
\(\overrightarrow{AB} = (3-0, 4-0) = (3, 4)\)
\(\overrightarrow{AC} = (-4-0, 3-0) = (-4, 3)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3×(-4) + 4×3 = -12 + 12 = 0\)
Comme \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\), les vecteurs AB et AC sont orthogonaux
Donc l'angle BÂC est droit, et le triangle ABC est rectangle en A
Le triangle ABC est rectangle en A car \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\)
• Caractérisation du triangle rectangle : Un triangle est rectangle en un sommet si les vecteurs formés par ce sommet et les deux autres sont orthogonaux
• Produit scalaire : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}\)
• Application : Utilisé pour démontrer des propriétés d'orthogonalité
P(2,5), (d'): x + 2y - 6 = 0
Donc a = 1, b = 2, c = -6
La droite (d') a pour vecteur normal (1,2), donc un vecteur directeur est (-2,1)
La droite perpendiculaire à (d') a pour vecteur directeur (1,2)
Équation: (y - 5) = (2/1)(x - 2) → y = 2x + 1
Résoudre le système: x + 2y - 6 = 0 et y = 2x + 1
x + 2(2x + 1) - 6 = 0
x + 4x + 2 - 6 = 0
5x - 4 = 0
x = 4/5
y = 2(4/5) + 1 = 8/5 + 1 = 13/5
Le projeté orthogonal de P(2,5) sur la droite (d'): x + 2y - 6 = 0 est H(4/5, 13/5)
• Définition : Le projeté orthogonal de M sur (d) est le point H de (d) tel que (MH) ⊥ (d)
• Construction : Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M
• Propriété : H est le point de (d) le plus proche de M
(d): y = 2x + 1 → pente m₁ = 2
(d''): y = -½x + 3 → pente m₂ = -½
Deux droites sont perpendiculaires si m₁ × m₂ = -1
m₁ × m₂ = 2 × (-½) = -1
Comme m₁ × m₂ = -1, les droites sont perpendiculaires
Les droites (d) et (d'') sont perpendiculaires car m₁ × m₂ = -1
• Condition de perpendicularité : Pour deux droites d'équations y = m₁x + p₁ et y = m₂x + p₂
• Critère : (d₁) ⊥ (d₂) ⟺ m₁ × m₂ = -1
• Interprétation : Les pentes sont opposées et inverses
A(1,1), B(5,2), C(3,6)
Pente de (AB): m = (2-1)/(5-1) = 1/4
Équation: y - 1 = (1/4)(x - 1) → y = (1/4)x + 3/4
Forme cartésienne: x - 4y + 3 = 0
La pente perpendiculaire est m' = -1/(1/4) = -4
Équation: y - 6 = -4(x - 3) → y = -4x + 18
La droite (CH) est perpendiculaire à (AB) et passe par C
L'équation de la hauteur issue de C dans le triangle ABC est y = -4x + 18
• Définition : La hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé
• Construction : Passer par le sommet avec pente perpendiculaire au côté opposé
• Application : Les hauteurs sont utiles pour déterminer l'orthocentre d'un triangle
