Définitions Cosinus, Sinus et Tangente | Trigonométrie dans le Triangle Rectangle

Dans le triangle rectangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu B :

• L'hypoténuse est le côté [BC]
• Le côté adjacent à l'angle B est le côté [AB]
• Le côté opposé à l'angle B est le côté [AC]

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle par l'hypoténuse.

• Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1
• Le cosinus d'un angle de 0° vaut 1
• Le cosinus d'un angle de 90° vaut 0
• Plus l'angle est grand, plus son cosinus est petit

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté opposé à cet angle par l'hypoténuse.

• Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1
• Le sinus d'un angle de 0° vaut 0
• Le sinus d'un angle de 90° vaut 1
• Plus l'angle est grand, plus son sinus est grand

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale au quotient du côté opposé à cet angle par le côté adjacent à cet angle.

• La tangente d'un angle aigu est toujours positive
• La tangente d'un angle de 0° vaut 0
• La tangente d'un angle de 45° vaut 1
• Quand l'angle tend vers 90°, la tangente tend vers +∞
• La tangente est le quotient du sinus par le cosinus : \( \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} \)

Pour tout angle aigu B dans un triangle rectangle :

Cette relation permet de calculer un cosinus si on connaît le sinus, ou inversement.

La tangente d'un angle est égale au quotient du sinus par le cosinus de cet angle :

Les fonctions trigonométriques permettent de :

• Calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle
• Déterminer la mesure d'un angle dans un triangle rectangle
• Résoudre des problèmes de la vie courante
• Effectuer des calculs en astronomie, en architecture, etc.

• 1 Calculer la hauteur d'un arbre ou d'un bâtiment
• 2 Déterminer la distance inaccessible
• 3 Navigation maritime et aérienne
• 4 Dessin technique et architecture

Dans le triangle rectangle ABC, on applique le théorème de Pythagore :

Soit : \( 5^2 + AC^2 = 13^2 \)

Donc : \( 25 + AC^2 = 169 \)

Soit : \( AC^2 = 169 - 25 = 144 \)

Donc : \( AC = \sqrt{144} = 12 \) cm

Dans le triangle ABC rectangle en A :

• Hypoténuse : BC = 13 cm
• Côté adjacent à B : AB = 5 cm
• Côté opposé à B : AC = 12 cm

On a : \( \cos(B) = \frac{5}{13} \approx 0.3846 \)

Donc : \( B = \arccos(0.3846) \)

À la calculatrice : \( B \approx 67° \) (arrondi au degré près)

On peut vérifier : \( \sin(67°) \approx 0.9205 \) et \( \frac{12}{13} \approx 0.9231 \) (proche)

Pour un angle aigu B dans un triangle rectangle :

• \( \cos(B) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \)
• \( \sin(B) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \)
• \( \tan(B) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \)

• \( \cos^2(B) + \sin^2(B) = 1 \)
• \( \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} \)

• Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus sont compris entre 0 et 1
• La tangente est positive et peut prendre n'importe quelle valeur positive
• Le cosinus diminue quand l'angle augmente
• Le sinus augmente quand l'angle augmente
• La tangente augmente quand l'angle augmente