Calculs dans un Triangle Rectangle | Trigonométrie Seconde

Introduction aux calculs dans un triangle rectangle

CALCULS DANS UN TRIANGLE RECTANGLE
Géométrie plane - Trigonométrie dans le triangle rectangle

Découvrez les méthodes pour effectuer des calculs dans un triangle rectangle

Pythagore
Trigo
Calculs

Théorème de Pythagore

Théorème fondamental

ÉNONCÉ DU THÉORÈME
Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
Triangle rectangle ABC avec l'angle droit en A
A (90°)
[AB] = c
[AC] = b
[BC] = a
B
C
Le théorème de Pythagore permet de calculer un côté d'un triangle rectangle connaissant les deux autres.
Utilisations du théorème
  • Calculer l'hypoténuse connaissant les deux cathètes
  • Calculer un cathète connaissant l'hypoténuse et l'autre cathète
  • Vérifier si un triangle est rectangle

Exemples d'utilisation du théorème de Pythagore

Applications concrètes

EXEMPLE 1 : CALCUL DE L'HYPOTÉNUSE
Triangle rectangle avec deux cathètes connus

Dans le triangle ABC rectangle en A, on donne AB = 3 cm et AC = 4 cm.

Calculons BC :

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( BC = \sqrt{25} = 5 \) cm

L'hypoténuse mesure 5 cm.

EXEMPLE 2 : CALCUL D'UN CATHÈTE
Triangle rectangle avec hypoténuse et un cathète connus

Dans le triangle DEF rectangle en D, on donne DE = 5 cm et EF = 13 cm.

Calculons DF :

\( EF^2 = DE^2 + DF^2 \)
\( 13^2 = 5^2 + DF^2 \)
\( 169 = 25 + DF^2 \)
\( DF^2 = 169 - 25 = 144 \)
\( DF = \sqrt{144} = 12 \) cm

Le cathète DF mesure 12 cm.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Relations trigonométriques

RAPPELS DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A

Pour l'angle aigu B :

\( \cos(B) = \frac{AB}{BC} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \)
\( \sin(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \)
\( \tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \)
Triangle rectangle ABC avec les relations trigonométriques
A (90°)
[AB] = côté adjacent à B
[AC] = côté opposé à B
[BC] = hypoténuse
B
C
UTILISATIONS DE LA TRIGONOMÉTRIE
Applications possibles
  • Calculer une longueur inconnue connaissant un angle et une autre longueur
  • Calculer la mesure d'un angle connaissant deux longueurs
  • Résoudre des problèmes concrets (hauteur, distance, etc.)

Calculs d'angles et de longueurs

Techniques de calcul

CALCULER UNE LONGUEUR
Méthode : Connaître un angle et une longueur

Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en A, on connaît l'angle B = 30° et l'hypoténuse BC = 10 cm.

Calculons AB (côté adjacent à B) :

\( \cos(30°) = \frac{AB}{BC} \)
\( AB = BC \times \cos(30°) = 10 \times \cos(30°) \)
\( AB = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \) cm
CALCULER UN ANGLE
Méthode : Connaître deux longueurs

Exemple : Dans le triangle DEF rectangle en D, on connaît DE = 6 cm et EF = 10 cm.

Calculons l'angle E :

\( \cos(E) = \frac{DE}{EF} = \frac{6}{10} = 0.6 \)
\( E = \arccos(0.6) \approx 53° \) (à la calculatrice)

Applications concrètes

Utilisations pratiques

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
Calculer des distances et des angles

Les calculs dans un triangle rectangle permettent de :

  • Calculer des hauteurs inaccessibles
  • Déterminer des distances indirectes
  • Résoudre des problèmes de navigation
  • Effectuer des calculs en architecture
PROBLÈMES DE VIE COURANTE
Applications concrètes
  • 1 Calcul de la hauteur d'un arbre
  • 2 Détermination de la distance entre deux points
  • 3 Construction de toitures
  • 4 Navigation maritime et aérienne

Exercice d'application

Problème complet

ÉNONCÉ
Question

Un câble de 20 mètres est attaché au sommet d'un poteau électrique et forme un angle de 60° avec le sol.

1. Calculer la hauteur du poteau.

2. Calculer la distance entre la base du poteau et l'extrémité du câble sur le sol.

3. Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Pythagore.

Solution de l'exercice

Correction détaillée

QUESTION 1 : CALCUL DE LA HAUTEUR DU POTEAU
Utilisation du sinus

Modélisons la situation : on a un triangle rectangle où :

  • L'hypoténuse est le câble (20 m)
  • L'angle entre le câble et le sol est 60°
  • La hauteur du poteau est le côté opposé à l'angle de 60°
\( \sin(60°) = \frac{\text{hauteur du poteau}}{\text{longueur du câble}} \)
\( \sin(60°) = \frac{h}{20} \)
\( h = 20 \times \sin(60°) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \) mètres

La hauteur du poteau est d'environ 17.32 mètres.

QUESTION 2 : CALCUL DE LA DISTANCE AU SOL
Utilisation du cosinus

La distance entre la base du poteau et l'extrémité du câble sur le sol est le côté adjacent à l'angle de 60°.

\( \cos(60°) = \frac{\text{distance au sol}}{\text{longueur du câble}} \)
\( \cos(60°) = \frac{d}{20} \)
\( d = 20 \times \cos(60°) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \) mètres

La distance entre la base du poteau et l'extrémité du câble est de 10 mètres.

QUESTION 3 : VÉRIFICATION AVEC PYTHAGORE
Application du théorème de Pythagore

Vérifions que : \( (\text{hauteur})^2 + (\text{distance au sol})^2 = (\text{câble})^2 \)

\( (10\sqrt{3})^2 + 10^2 = 300 + 100 = 400 \)
\( 20^2 = 400 \)

On a bien : \( 400 = 400 \), donc la vérification est correcte.

Résumé

Points clés

THÉORÈME DE PYTHAGORE
Formule fondamentale

Dans un triangle rectangle, si c est l'hypoténuse et a, b sont les cathètes :

\( c^2 = a^2 + b^2 \)
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Relations dans le triangle rectangle
  • \( \cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \)
  • \( \sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \)
  • \( \tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \)
MÉTHODES DE CALCUL
Stratégies pour résoudre les problèmes
  • Identifier le triangle rectangle dans le problème
  • Déterminer les côtés connus et inconnus
  • Choisir la bonne méthode (Pythagore ou trigonométrie)
  • Appliquer la formule appropriée
  • Vérifier la cohérence du résultat
Maîtriser les calculs dans un triangle rectangle est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DES CALCULS DANS UN TRIANGLE RECTANGLE
Vous savez maintenant effectuer des calculs dans un triangle rectangle !

Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences

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