Distance entre Deux Points | Géométrie Plane Seconde
Introduction au calcul de la distance entre deux points
Découvrez la formule pour calculer la distance entre deux points dans un repère
Définition de la distance entre deux points
Concept fondamental
Dans un repère orthonormé (O, I, J), la distance entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est la longueur du segment [AB].
Elle est notée AB ou d(A,B).
Cette distance est égale à la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
La formule de la distance découle du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections des points sur les axes.
On a : \( AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \)
Donc : \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \)
Formule de la distance
Expression analytique
Soient A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points du plan.
La distance AB est donnée par la formule :
Cette formule est valable dans tout repère orthonormé.
Soient les points A(2, 3) et B(5, 7).
Calculons la distance AB :
La distance AB est égale à 5 unités.
Soient les points C(-1, 4) et D(3, -2).
Calculons la distance CD :
La distance CD est égale à \( 2\sqrt{13} \) unités.
Soient les points E(0, 0) et F(4, 3).
Calculons la distance EF :
La distance EF est égale à 5 unités.
Propriétés de la distance
Caractéristiques importantes
La distance est symétrique : la distance de A à B est égale à la distance de B à A.
Cela se vérifie avec la formule : \( \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \)
La distance entre deux points est toujours positive ou nulle.
Elle est nulle si et seulement si les deux points sont confondus.
Pour trois points A, B et C, on a toujours : \( AB + BC \geq AC \)
L'égalité a lieu si et seulement si les points sont alignés et que B est entre A et C.
La distance est invariante par translation.
Si on translate les points A et B par le même vecteur, la distance entre les images est égale à la distance entre les points originaux.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La distance permet de :
- Démontrer qu'un triangle est isocèle (deux côtés égaux)
- Démontrer qu'un triangle est équilatéral (trois côtés égaux)
- Démontrer qu'un quadrilatère est un losange (quatre côtés égaux)
- Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle (diagonales égales)
- 1 Calculer des distances sur une carte
- 2 Optimiser des trajets
- 3 Positionnement GPS
- 4 Dessin assisté par ordinateur
Exercice d'application
Problème complet
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1, 2), B(4, 1), C(6, 4) et D(3, 5).
1. Calculer les distances AB, BC, CD et DA.
2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
3. Calculer la distance entre les milieux des diagonales [AC] et [BD].
Solution de l'exercice
Correction détaillée
A(1, 2) et B(4, 1)
B(4, 1) et C(6, 4)
C(6, 4) et D(3, 5)
D(3, 5) et A(1, 2)
On a :
- AB = CD = \(\sqrt{10}\)
- BC = DA = \(\sqrt{13}\)
Donc les côtés opposés sont égaux deux à deux.
Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
Calculons les coordonnées du milieu I de [AC] :
Calculons les coordonnées du milieu J de [BD] :
On constate que I = J, donc les milieux des diagonales sont confondus.
La distance entre ces milieux est donc : IJ = 0.
Cette propriété est caractéristique des parallélogrammes : les diagonales se coupent en leur milieu.
Résumé
Points clés
Soient A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points du plan.
- La distance est toujours positive ou nulle
- La distance est symétrique : AB = BA
- La distance est nulle si et seulement si les points sont confondus
- La distance vérifie l'inégalité triangulaire
- Identifier des triangles particuliers
- Reconnaître des quadrilatères spécifiques
- Résoudre des problèmes d'alignement
- Calculer des longueurs dans des figures
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences