Équation Cartésienne d'une Droite | Géométrie Plane Seconde
Introduction à l'équation cartésienne d'une droite
Découvrez comment représenter une droite dans un repère du plan
Définition de l'équation cartésienne
Concept fondamental
Dans un repère orthonormé (O, I, J), toute droite (d) du plan admet une équation de la forme :
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels, avec \(a\) et \(b\) non tous deux nuls.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).
Un point M(x, y) appartient à la droite (d) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.
- \( 2x + 3y - 6 = 0 \) est une équation cartésienne de droite
- \( x - 4 = 0 \) est l'équation cartésienne d'une droite verticale
- \( y + 2 = 0 \) est l'équation cartésienne d'une droite horizontale
Vecteurs directeur et normal
Caractéristiques vectorielles
Soit une droite (d) d'équation cartésienne : \( ax + by + c = 0 \).
Un vecteur directeur de cette droite est : \( \vec{u}(-b, a) \).
Un vecteur directeur indique la direction de la droite.
On dit que la droite (d) a pour direction le vecteur \( \vec{u} \).
Soit une droite (d) d'équation cartésienne : \( ax + by + c = 0 \).
Un vecteur normal à cette droite est : \( \vec{n}(a, b) \).
Un vecteur normal est perpendiculaire à la droite.
Il est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite.
Soit la droite (d) d'équation : \( 3x - 4y + 5 = 0 \).
On a a = 3, b = -4, c = 5.
Un vecteur directeur est : \( \vec{u}(-(-4), 3) = \vec{u}(4, 3) \).
Un vecteur normal est : \( \vec{n}(3, -4) \).
On peut vérifier que \( \vec{u} \cdot \vec{n} = 4 \times 3 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0 \), donc ils sont orthogonaux.
Passer d'une forme à l'autre
Différentes formes d'équation
Lorsque \( b \neq 0 \), on peut écrire l'équation cartésienne sous la forme :
Cette forme s'appelle l'équation réduite de la droite.
- m est le coefficient directeur (pente) de la droite
- p est l'ordonnée à l'origine
Soit la droite (d) d'équation cartésienne : \( 2x + 3y - 6 = 0 \).
On isole y :
Le coefficient directeur est \( m = -\frac{2}{3} \) et l'ordonnée à l'origine est \( p = 2 \).
Soit la droite (d) d'équation réduite : \( y = 4x - 3 \).
On réécrit :
Ou encore : \( 4x - y - 3 = 0 \).
C'est l'équation cartésienne de la droite.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les équations cartésiennes permettent de :
- Déterminer si deux droites sont parallèles
- Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites
- Représenter graphiquement une droite
- 1 Dessin technique et architecture
- 2 Cartographie et navigation
- 3 Modélisation de trajectoires
- 4 Programmation graphique
Exercice d'application
Problème complet
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(2, 1) et B(5, 3).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2. Trouver un vecteur directeur de cette droite.
3. Trouver un vecteur normal à cette droite.
4. Le point C(8, 5) appartient-il à la droite (AB) ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Calculons les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :
Un vecteur directeur de la droite (AB) est donc \(\vec{u}(3, 2)\).
Un vecteur normal à la droite est \(\vec{n}(-2, 3)\) (car \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 3 \times (-2) + 2 \times 3 = 0\)).
L'équation cartésienne de la droite est de la forme : \( -2x + 3y + c = 0 \).
Puisque A(2, 1) appartient à la droite, on a :
Donc une équation cartésienne de la droite (AB) est : \( -2x + 3y + 1 = 0 \) ou \( 2x - 3y - 1 = 0 \).
Un vecteur directeur de la droite (AB) est \(\vec{u}(3, 2)\) ou tout vecteur colinéaire.
On peut aussi utiliser \(\overrightarrow{AB} = (3, 2)\).
Un vecteur normal à la droite (AB) d'équation \( 2x - 3y - 1 = 0 \) est \(\vec{n}(2, -3)\).
On peut vérifier que \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 3 \times 2 + 2 \times (-3) = 6 - 6 = 0\).
Les vecteurs sont bien orthogonaux.
Pour vérifier si C(8, 5) appartient à la droite (AB), on remplace x et y dans l'équation :
Comme le résultat est 0, le point C appartient bien à la droite (AB).
On peut vérifier en calculant \(\overrightarrow{AC} = (6, 4)\) et \(\overrightarrow{AB} = (3, 2)\).
On voit que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\), donc A, B et C sont alignés.
Résumé
Points clés
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels avec \(a\) et \(b\) non tous deux nuls.
Pour une droite d'équation \( ax + by + c = 0 \) :
- Un vecteur directeur est \( \vec{u}(-b, a) \)
- Un vecteur normal est \( \vec{n}(a, b) \)
- Les vecteurs directeur et normal sont orthogonaux
- Équation cartésienne : \( ax + by + c = 0 \)
- Équation réduite (si \( b \neq 0 \)) : \( y = mx + p \)
- Relation : \( m = -\frac{a}{b} \) et \( p = -\frac{c}{b} \)
Conclusion
Félicitations !
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