Fonction - Variable - Image - Antécédent | Mathématiques Seconde
Introduction aux notions fondamentales de fonction
Découvrez les concepts essentiels : définition, variable, image et antécédent
Définition d'une fonction
Concept fondamental
Une fonction f est un procédé qui, à chaque nombre x d'un ensemble D (appelé ensemble de définition), associe un unique nombre y.
On note : \( f : x \mapsto y \) ou \( y = f(x) \)
Le nombre y est appelé image de x par la fonction f.
Le nombre x est appelé antécédent de y par la fonction f.
- \( f(x) \) se lit "f de x"
- \( f(x) \) est l'image de x par f
- x est un antécédent de f(x) par f
- D est l'ensemble de définition de f
Variable d'une fonction
La variable x
La variable d'une fonction est le nombre x sur lequel on applique la fonction.
Elle peut prendre différentes valeurs dans l'ensemble de définition D.
On dit que x est la variable indépendante car on peut choisir librement sa valeur (dans D).
On dit que f(x) est la variable dépendante car sa valeur dépend de x.
f(x) = 2x + 3
Si x = 1, alors f(1) = 2(1) + 3 = 5
Si x = 2, alors f(2) = 2(2) + 3 = 7
Si x = -1, alors f(-1) = 2(-1) + 3 = 1
L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.
Par exemple, pour f(x) = 1/x, l'ensemble de définition est ℝ* = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ car on ne peut pas diviser par 0.
Pour f(x) = √x, l'ensemble de définition est [0, +∞[ car on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.
Image d'une variable
Le concept d'image
L'image d'un nombre x par une fonction f est le nombre f(x) obtenu en appliquant la fonction f à x.
On dit que f(x) est l'image de x par f.
L'image est unique pour chaque x dans l'ensemble de définition.
Soit f(x) = x² - 2x + 1
• L'image de 0 est : f(0) = 0² - 2(0) + 1 = 1
• L'image de 1 est : f(1) = 1² - 2(1) + 1 = 0
• L'image de 2 est : f(2) = 2² - 2(2) + 1 = 1
• L'image de 3 est : f(3) = 3² - 2(3) + 1 = 4
Pour calculer l'image d'un nombre a par une fonction f :
- Remplacer x par a dans l'expression de f(x)
- Effectuer les calculs
- Le résultat est f(a), l'image de a
Exemple : Soit g(x) = 3x - 4. Calculons g(5) :
L'image de 5 par g est 11.
Antécédent d'une image
Le concept d'antécédent
Un antécédent d'un nombre y par une fonction f est un nombre x tel que f(x) = y.
Attention : un nombre y peut avoir plusieurs antécédents, un seul antécédent ou aucun antécédent.
Exemple : Soit f(x) = x². Cherchons les antécédents de 4 :
Donc 4 a deux antécédents : 2 et -2.
Soit h(x) = x² - 4
• Antécédents de 0 : x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 ou x = -2
• Antécédents de 5 : x² - 4 = 5 ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3 ou x = -3
• Antécédents de -5 : x² - 4 = -5 ⇒ x² = -1 ⇒ aucune solution réelle
Pour trouver les antécédents d'un nombre y par une fonction f :
- Résoudre l'équation f(x) = y
- Les solutions sont les antécédents de y
Exemple : Soit f(x) = 2x + 1. Trouvons les antécédents de 7 :
Donc 3 est l'antécédent de 7 par f.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
Les notions de variable, image et antécédent sont essentielles pour :
- Tracer la courbe représentative d'une fonction
- Identifier les points d'intersection avec les axes
- Étudier les variations d'une fonction
- Résoudre des équations et inéquations
- 1 Calcul de prix en fonction de quantités
- 2 Évolution de température en fonction du temps
- 3 Distance parcourue en fonction de la vitesse
- 4 Aires et volumes en fonction de dimensions
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f définie par f(x) = x² - 3x + 2.
1. Calculer l'image de 0 par f.
2. Calculer l'image de -1 par f.
3. Trouver les antécédents de 0 par f.
4. Trouver les antécédents de 2 par f.
5. Déterminer l'ensemble de définition de f.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
On remplace x par 0 dans l'expression de f(x) :
L'image de 0 par f est 2.
On remplace x par -1 dans l'expression de f(x) :
L'image de -1 par f est 6.
On cherche x tel que f(x) = 0 :
Pour résoudre cette équation du second degré, on peut factoriser :
Donc : (x - 1)(x - 2) = 0
Cela équivaut à : x - 1 = 0 ou x - 2 = 0
Soit : x = 1 ou x = 2
Les antécédents de 0 par f sont 1 et 2.
On cherche x tel que f(x) = 2 :
Cela équivaut à : x = 0 ou x - 3 = 0
Soit : x = 0 ou x = 3
Les antécédents de 2 par f sont 0 et 3.
La fonction f(x) = x² - 3x + 2 est un polynôme.
Les polynômes sont définis pour toutes les valeurs réelles.
Donc l'ensemble de définition de f est ℝ (l'ensemble des réels).
Résumé
Points clés
Une fonction f associe à chaque élément x de son ensemble de définition D un unique élément y.
Notation : \( f : x \mapsto y \) ou \( y = f(x) \)
La variable x est l'élément sur lequel on applique la fonction.
Elle appartient à l'ensemble de définition D.
L'image de x par f est le nombre f(x).
Chaque x a une unique image f(x).
Un antécédent de y par f est un nombre x tel que f(x) = y.
Un y peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
- Si f(x) = y, alors x est un antécédent de y par f
- Si f(x) = y, alors y est l'image de x par f
- La variable x peut prendre différentes valeurs dans D
- Chaque x ∈ D a une unique image f(x)
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences