Ensemble de Définition d'une Fonction | Mathématiques Seconde

Pour une fonction f, on écrit :

Cela signifie que f est une fonction définie sur l'ensemble D_f et qui prend ses valeurs dans ℝ.

Les fonctions polynomiales (fonctions définies par des expressions avec des puissances de x) sont définies sur tout ℝ.

Exemples :

• \( f(x) = 2x^2 + 3x - 1 \) : D_f = ℝ
• \( g(x) = x^3 - 4x \) : D_g = ℝ

Pour une fonction rationnelle, on exclut les valeurs de x qui annulent le dénominateur.

Exemple : \( h(x) = \frac{1}{x-2} \)

Le dénominateur est nul quand : \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

Donc : D_h = ℝ \ {2} ou ]-∞, 2[ ∪ ]2, +∞[

Pour une fonction avec une racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.

Exemple : \( k(x) = \sqrt{x+3} \)

On doit avoir : \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \)

Donc : D_k = [-3, +∞[

Exemple : \( m(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+2} \)

Conditions à respecter :

• \( x - 1 \geq 0 \) (sous la racine) ⇒ \( x \geq 1 \)
• \( x + 2 \neq 0 \) (dénominateur non nul) ⇒ \( x \neq -2 \)

Comme x ≥ 1 implique x ≠ -2, on a : D_m = [1, +∞[

• [a, b] : ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b (intervalles fermé)
• ]a, b[ : ensemble des réels x tels que a < x < b (intervalles ouvert)
• [a, b[ : ensemble des réels x tels que a ≤ x < b (semi-ouvert)
• ]a, b] : ensemble des réels x tels que a < x ≤ b (semi-ouvert)

• [a, +∞[ : ensemble des réels x tels que x ≥ a
• ]a, +∞[ : ensemble des réels x tels que x > a
• ]-∞, a] : ensemble des réels x tels que x ≤ a
• ]-∞, a[ : ensemble des réels x tels que x < a

Parfois, l'ensemble de définition est une réunion de plusieurs intervalles.

Exemple : \( f(x) = \frac{1}{x^2-4} \)

Le dénominateur est nul quand : \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = ±2 \)

Donc : D_f = ]-∞, -2[ ∪ ]-2, 2[ ∪ ]2, +∞[

Le dénominateur est nul quand : \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

Donc la fonction est définie pour toutes les valeurs de x sauf x = 3.

L'expression sous la racine doit être positive ou nulle :

\( 4 - x^2 \geq 0 \)

\( 4 \geq x^2 \)

\( x^2 \leq 4 \)

\( |x| \leq 2 \)

\( -2 \leq x \leq 2 \)

Deux conditions à respecter :

1. \( x + 1 \geq 0 \) (sous la racine) ⇒ \( x \geq -1 \)
2. \( x - 2 \neq 0 \) (dénominateur non nul) ⇒ \( x \neq 2 \)

Donc : \( x \geq -1 \) et \( x \neq 2 \)

L'ensemble de définition détermine l'ensemble des abscisses sur lesquelles on peut tracer la courbe représentative d'une fonction.

Il est essentiel pour éviter des erreurs dans le tracé de la fonction.

• 1 Calcul de vitesses en fonction du temps (temps positif)
• 2 Calcul d'aires en fonction de dimensions (dimensions positives)
• 3 Étude de fonctions économiques (quantités positives)
• 4 Modélisation de phénomènes physiques

Le dénominateur est nul quand : \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Factorisons : \( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \)

Donc : \( (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2 \) ou \( x = 3 \)

L'expression sous la racine doit être positive ou nulle :

\( 2x - 4 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2 \)

Conditions à respecter :

1. \( x + 2 \geq 0 \) (sous la racine) ⇒ \( x \geq -2 \)
2. \( x - 1 \neq 0 \) (dénominateur non nul) ⇒ \( x \neq 1 \)

Donc : \( x \geq -2 \) et \( x \neq 1 \)

L'expression sous la racine doit être positive ou nulle :

\( x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2 \)

Cela équivaut à : \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \)

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

On le note D_f ou D.

• Fonction polynomiale : D = ℝ
• Fonction rationnelle : exclure les valeurs qui annulent le dénominateur
• Fonction avec racine carrée : l'expression sous la racine doit être ≥ 0
• Combinaisons : respecter toutes les conditions simultanément

• [a, b] : intervalle fermé
• ]a, b[ : intervalle ouvert
• ]-∞, a[ : intervalle de -∞ à a (exclu)
• [a, +∞[ : intervalle de a (inclus) à +∞