Image : L'image de x par f est le résultat de f(x).
- Remplacer x par la valeur donnée dans l'expression f(x)
- Effectuer les opérations dans l'ordre
- Simplifier pour obtenir le résultat
f(x) = 2x + 3
f(5) = 2×5 + 3 = 10 + 3 = 13
f(x) = 2x + 3
f(-2) = 2×(-2) + 3 = -4 + 3 = -1
L'image de 5 par f est 13, donc f(5) = 13
L'image de -2 par f est -1, donc f(-2) = -1
f(5) = 13 et f(-2) = -1
• Définition : f(x) est l'image de x par la fonction f
• Substitution : Remplacer x par la valeur numérique
• Calcul algébrique : Respecter les priorités d'opérations
Fonction carré : f(x) = x², transformation quadratique.
g(x) = x² - 4
g(3) = 3² - 4 = 9 - 4 = 5
g(x) = x² - 4
g(-1) = (-1)² - 4 = 1 - 4 = -3
Pour x = 3 : 3² = 9, donc 9 - 4 = 5 ✓
Pour x = -1 : (-1)² = 1, donc 1 - 4 = -3 ✓
Les images de 3 et -1 par g sont respectivement 5 et -3
• Carré d'un nombre : x² = x × x (toujours positif sauf pour 0)
• Signe négatif : (-a)² = a² (le carré d'un négatif est positif)
• Ordre des opérations : Puissance avant addition/soustraction
Antécédent : Valeur x telle que f(x) = y (résultat connu).
On cherche x tel que h(x) = 8
Donc 3x - 7 = 8
3x - 7 = 8
3x = 8 + 7
3x = 15
x = 15/3 = 5
h(5) = 3×5 - 7 = 15 - 7 = 8 ✓
L'antécédent de 8 par h est 5
L'antécédent de 8 par la fonction h est x = 5
• Équation linéaire : Forme ax + b = c, solution x = (c-b)/a
• Isoler x : Ajouter ou soustraire le même terme des deux côtés
• Vérification : Toujours remplacer x dans l'équation initiale
Équation quadratique : x² = a, avec a > 0 a deux solutions.
On cherche x tel que f(x) = 9
Donc x² = 9
x² = 9
x = √9 ou x = -√9
x = 3 ou x = -3
f(3) = 3² = 9 ✓
f(-3) = (-3)² = 9 ✓
Il y a deux antécédents de 9 par f
Les antécédents de 9 par la fonction f sont x = 3 et x = -3
• Équation x² = a : Si a > 0, alors x = √a ou x = -√a
• Deux solutions : Une positive et une négative
• Unicité de l'image : Chaque x a une seule image, mais chaque image peut avoir 0, 1 ou 2 antécédents
Équation fonctionnelle : Trouver x tel que f(x) = y donné.
f(x) = 7
2x + 1 = 7
2x + 1 = 7
2x = 7 - 1
2x = 6
2x = 6
x = 6/2 = 3
f(3) = 2×3 + 1 = 6 + 1 = 7 ✓
x = 3 est l'unique antécédent de 7 par f
Pour que f(x) = 7, il faut x = 3
• Fonction affine : f(x) = ax + b a toujours un unique antécédent pour chaque image
• Résolution équation : Isoler x en effectuant les opérations inverses
• Vérification : Remplacer x dans l'expression originale
Identité remarquable : (a-b)² = a² - 2ab + b².
g(x) = (x-1)²
g(0) = (0-1)² = (-1)² = 1
g(x) = (x-1)²
g(1) = (1-1)² = (0)² = 0
g(x) = (x-1)²
g(2) = (2-1)² = (1)² = 1
g(0) = g(2) = 1, donc 0 et 2 ont la même image
g(0) = 1, g(1) = 0, g(2) = 1
• Identité remarquable : (a-b)² = a² - 2ab + b²
• Symétrie : La fonction (x-1)² est symétrique par rapport à x = 1
• Valeur minimale : g(1) = 0 est la valeur minimale de la fonction
Racine carrée : √x est le nombre positif dont le carré est x.
h(x) = √x
h(16) = √16 = 4
On cherche x tel que h(x) = 4
Donc √x = 4
En élevant au carré : x = 4² = 16
h(16) = √16 = 4 ✓
L'antécédent de 4 est bien 16
La fonction racine carrée est définie pour x ≥ 0
L'image de 16 par h est 4, et l'antécédent de 4 par h est 16
• Racine carrée : √x est défini seulement pour x ≥ 0
• Réciproque : Si √x = a, alors x = a²
• Positivité : √x ≥ 0 pour tout x ≥ 0
Fonction inverse : f(x) = 1/x, définie pour x ≠ 0.
f(x) = 1/x
f(2) = 1/2 = 0.5
On cherche x tel que f(x) = -1
Donc 1/x = -1
En multipliant par x : 1 = -x
Donc x = -1
f(-1) = 1/(-1) = -1 ✓
La fonction inverse est définie pour x ≠ 0
L'image de 2 par f est 1/2, et l'antécédent de -1 par f est -1
• Fonction inverse : f(x) = 1/x, non définie en x = 0
• Réciproque : Si 1/x = a, alors x = 1/a (avec a ≠ 0)
• Symétrie : La fonction inverse est impaire : f(-x) = -f(x)
Fonction cubique : f(x) = x³ - x, combinaison de puissances.
f(x) = x³ - x
f(0) = 0³ - 0 = 0 - 0 = 0
f(x) = x³ - x
f(1) = 1³ - 1 = 1 - 1 = 0
f(x) = x³ - x
f(-1) = (-1)³ - (-1) = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0
f(x) = x³ - x = x(x² - 1) = x(x-1)(x+1)
Les valeurs 0, 1, -1 sont des racines de la fonction (f(x) = 0)
f(0) = 0, f(1) = 0, f(-1) = 0
• Puissances impaires : (-a)³ = -a³
• Factorisation : x³ - x = x(x² - 1) = x(x-1)(x+1)
• Racines : Les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0
Fonction quadratique : f(x) = ax² + bx + c, forme générale du second degré.
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(0) = 2(0)² - 3(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(1) = 2(1)² - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0
On cherche x tel que f(x) = 1
Donc 2x² - 3x + 1 = 1
2x² - 3x + 1 - 1 = 0
2x² - 3x = 0
x(2x - 3) = 0
x(2x - 3) = 0
Donc x = 0 ou 2x - 3 = 0
Donc x = 0 ou x = 3/2
f(0) = 1 ✓
f(3/2) = 2(3/2)² - 3(3/2) + 1 = 2(9/4) - 9/2 + 1 = 9/2 - 9/2 + 1 = 1 ✓
f(0) = 1, f(1) = 0, et les antécédents de 1 sont x = 0 et x = 3/2
• Fonction quadratique : f(x) = ax² + bx + c
• Factorisation : Mettre x en facteur commun quand possible
• Produit nul : Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0
