ax + by + c = 0
Une droite passant par deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) a une équation de la forme : \( ax + by + c = 0 \)
- Calculer le vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\)
- Utiliser la condition de colinéarité avec un point M(x, y) quelconque
- Former l'équation en développant
- Simplifier pour obtenir la forme réduite
\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - 2, 7 - 3) = (2, 4) \)
Pour un point M(x, y) appartenant à la droite (AB), les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires
\( \overrightarrow{AM} = (x - 2, y - 3) \)
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul :
\( \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = (x - 2) \times 4 - (y - 3) \times 2 = 0 \)
\( 4(x - 2) - 2(y - 3) = 0 \)
\( 4x - 8 - 2y + 6 = 0 \)
\( 4x - 2y - 2 = 0 \)
On peut diviser par 2 : \( 2x - y - 1 = 0 \)
\( 2x - y - 1 = 0 \)
• Condition de colinéarité : \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires
• Le déterminant de deux vecteurs colinéaires est nul
• On peut simplifier l'équation en divisant par un facteur commun
• Tous les points de la droite vérifient cette équation
Une droite passant par un point A(xA, yA) avec vecteur directeur \(\vec{u}(a, b)\) a une équation : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
Point C(1, -2), donc \( x_C = 1 \) et \( y_C = -2 \)
Vecteur directeur \(\vec{u}(3, 4)\), donc \( a = 3 \) et \( b = 4 \)
Formule : \( b(x - x_C) - a(y - y_C) = 0 \)
\( 4(x - 1) - 3(y - (-2)) = 0 \)
\( 4(x - 1) - 3(y + 2) = 0 \)
\( 4x - 4 - 3y - 6 = 0 \)
\( 4x - 3y - 10 = 0 \)
Vérifions que C(1, -2) appartient à la droite : \( 4(1) - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 \) ✓
\( 4x - 3y - 10 = 0 \)
• Formule avec point et vecteur directeur : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
• Le vecteur directeur \(\vec{u}(a, b)\) détermine la direction de la droite
• Le point A(xA, yA) fixe la position de la droite
• On peut vérifier la validité en remplaçant les coordonnées du point connu
Une droite passant par deux points D(xD, yD) et E(xE, yE) a une équation de la forme : \( ax + by + c = 0 \)
\( \overrightarrow{DE} = (x_E - x_D, y_E - y_D) = (3 - 0, 2 - 5) = (3, -3) \)
Pour un point M(x, y) appartenant à la droite (DE), les vecteurs \(\overrightarrow{DM}\) et \(\overrightarrow{DE}\) sont colinéaires
\( \overrightarrow{DM} = (x - 0, y - 5) = (x, y - 5) \)
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul :
\( \det(\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{DE}) = x \times (-3) - (y - 5) \times 3 = 0 \)
\( -3x - 3(y - 5) = 0 \)
\( -3x - 3y + 15 = 0 \)
On peut diviser par -3 : \( x + y - 5 = 0 \)
Vérifions que D(0, 5) appartient à la droite : \( 0 + 5 - 5 = 0 \) ✓
Vérifions que E(3, 2) appartient à la droite : \( 3 + 2 - 5 = 0 \) ✓
\( x + y - 5 = 0 \)
• Condition de colinéarité : \(\overrightarrow{DM}\) et \(\overrightarrow{DE}\) sont colinéaires
• Le déterminant de deux vecteurs colinéaires est nul
• On peut simplifier l'équation en divisant par un facteur commun
• On vérifie que les deux points connus satisfont l'équation
Une droite passant par un point A(xA, yA) avec vecteur directeur \(\vec{u}(a, b)\) a une équation : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
Point F(-1, 4), donc \( x_F = -1 \) et \( y_F = 4 \)
Vecteur directeur \(\vec{v}(2, -3)\), donc \( a = 2 \) et \( b = -3 \)
Formule : \( b(x - x_F) - a(y - y_F) = 0 \)
\( -3(x - (-1)) - 2(y - 4) = 0 \)
\( -3(x + 1) - 2(y - 4) = 0 \)
\( -3x - 3 - 2y + 8 = 0 \)
\( -3x - 2y + 5 = 0 \)
Vérifions que F(-1, 4) appartient à la droite : \( -3(-1) - 2(4) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0 \) ✓
\( -3x - 2y + 5 = 0 \) ou \( 3x + 2y - 5 = 0 \)
• Formule avec point et vecteur directeur : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
• Le vecteur directeur \(\vec{v}(a, b)\) détermine la direction de la droite
• Le point F(xF, yF) fixe la position de la droite
• On peut multiplier l'équation par -1 pour simplifier les coefficients
Quand deux points ont la même abscisse, la droite est verticale et a une équation de la forme : \( x = k \) où k est l'abscisse commune
G(2, 0) donc \( x_G = 2 \) et \( y_G = 0 \)
H(2, 5) donc \( x_H = 2 \) et \( y_H = 5 \)
Les deux points ont la même abscisse : \( x_G = x_H = 2 \)
Comme les abscisses sont égales, la droite est verticale
Elle est parallèle à l'axe des ordonnées
Une droite verticale passant par un point d'abscisse k a pour équation : \( x = k \)
Ici, \( k = 2 \), donc l'équation est : \( x = 2 \)
Vérifions que G(2, 0) appartient à la droite : \( x = 2 \) ✓
Vérifions que H(2, 5) appartient à la droite : \( x = 2 \) ✓
\( x = 2 \)
• Droite verticale : Quand \( x_A = x_B \), l'équation est \( x = x_A \)
• Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur défini
• Tous les points de la droite ont la même abscisse
• Cette droite n'est pas une fonction car elle ne satisfait pas la relation fonctionnelle
Quand un vecteur directeur a une ordonnée nulle (b = 0), la droite est horizontale et a une équation de la forme : \( y = k \) où k est l'ordonnée du point
Point I(0, -3), donc \( x_I = 0 \) et \( y_I = -3 \)
Vecteur directeur \(\vec{w}(1, 0)\), donc \( a = 1 \) et \( b = 0 \)
Formule : \( b(x - x_I) - a(y - y_I) = 0 \)
\( 0(x - 0) - 1(y - (-3)) = 0 \)
\( 0 - (y + 3) = 0 \)
\( -(y + 3) = 0 \)
\( y + 3 = 0 \)
\( y = -3 \)
Vérifions que I(0, -3) appartient à la droite : \( y = -3 \) ✓
\( y = -3 \)
• Droite horizontale : Quand \( b = 0 \), la droite est horizontale
• Une droite horizontale a un coefficient directeur nul
• Tous les points de la droite ont la même ordonnée
• C'est une fonction constante
Une droite passant par deux points J(xJ, yJ) et K(xK, yK) a une équation de la forme : \( ax + by + c = 0 \)
\( \overrightarrow{JK} = (x_K - x_J, y_K - y_J) = (4 - (-2), -5 - 1) = (6, -6) \)
Pour un point M(x, y) appartenant à la droite (JK), les vecteurs \(\overrightarrow{JM}\) et \(\overrightarrow{JK}\) sont colinéaires
\( \overrightarrow{JM} = (x - (-2), y - 1) = (x + 2, y - 1) \)
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul :
\( \det(\overrightarrow{JM}, \overrightarrow{JK}) = (x + 2) \times (-6) - (y - 1) \times 6 = 0 \)
\( -6(x + 2) - 6(y - 1) = 0 \)
\( -6x - 12 - 6y + 6 = 0 \)
\( -6x - 6y - 6 = 0 \)
On peut diviser par -6 : \( x + y + 1 = 0 \)
Vérifions que J(-2, 1) appartient à la droite : \( -2 + 1 + 1 = 0 \) ✓
Vérifions que K(4, -5) appartient à la droite : \( 4 + (-5) + 1 = 0 \) ✓
\( x + y + 1 = 0 \)
• Condition de colinéarité : \(\overrightarrow{JM}\) et \(\overrightarrow{JK}\) sont colinéaires
• Le déterminant de deux vecteurs colinéaires est nul
• On peut simplifier l'équation en divisant par un facteur commun
• On vérifie que les deux points connus satisfont l'équation
Une droite passant par un point A(xA, yA) avec vecteur directeur \(\vec{u}(a, b)\) a une équation : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
Point L(3, 1), donc \( x_L = 3 \) et \( y_L = 1 \)
Vecteur directeur \(\vec{n}(-2, 1)\), donc \( a = -2 \) et \( b = 1 \)
Formule : \( b(x - x_L) - a(y - y_L) = 0 \)
\( 1(x - 3) - (-2)(y - 1) = 0 \)
\( (x - 3) + 2(y - 1) = 0 \)
\( x - 3 + 2y - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 5 = 0 \)
Vérifions que L(3, 1) appartient à la droite : \( 3 + 2(1) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0 \) ✓
\( x + 2y - 5 = 0 \)
• Formule avec point et vecteur directeur : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
• Attention au signe négatif dans le vecteur directeur
• Le vecteur \(\vec{n}(-2, 1)\) indique la direction de la droite
• On peut vérifier la validité en remplaçant les coordonnées du point connu
Une droite passant par deux points M(xM, yM) et N(xN, yN) a une équation de la forme : \( ax + by + c = 0 \)
\( \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) = (5 - 0, -2 - 0) = (5, -2) \)
Pour un point P(x, y) appartenant à la droite (MN), les vecteurs \(\overrightarrow{MP}\) et \(\overrightarrow{MN}\) sont colinéaires
\( \overrightarrow{MP} = (x - 0, y - 0) = (x, y) \)
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul :
\( \det(\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}) = x \times (-2) - y \times 5 = 0 \)
\( -2x - 5y = 0 \)
Vérifions que M(0, 0) appartient à la droite : \( -2(0) - 5(0) = 0 \) ✓
Vérifions que N(5, -2) appartient à la droite : \( -2(5) - 5(-2) = -10 + 10 = 0 \) ✓
\( -2x - 5y = 0 \) ou \( 2x + 5y = 0 \)
• Condition de colinéarité : \(\overrightarrow{MP}\) et \(\overrightarrow{MN}\) sont colinéaires
• Le déterminant de deux vecteurs colinéaires est nul
• Cette droite passe par l'origine du repère
• On peut multiplier l'équation par -1 pour simplifier les coefficients
Une droite passant par un point A(xA, yA) avec vecteur directeur \(\vec{u}(a, b)\) a une équation : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
Point O(1, 1), donc \( x_O = 1 \) et \( y_O = 1 \)
Vecteur directeur \(\vec{d}(4, -1)\), donc \( a = 4 \) et \( b = -1 \)
Formule : \( b(x - x_O) - a(y - y_O) = 0 \)
\( -1(x - 1) - 4(y - 1) = 0 \)
\( -(x - 1) - 4(y - 1) = 0 \)
\( -x + 1 - 4y + 4 = 0 \)
\( -x - 4y + 5 = 0 \)
On peut multiplier par -1 : \( x + 4y - 5 = 0 \)
Vérifions que O(1, 1) appartient à la droite : \( 1 + 4(1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 \) ✓
\( x + 4y - 5 = 0 \)
• Formule avec point et vecteur directeur : \( b(x - x_A) - a(y - y_A) = 0 \)
• Le vecteur directeur \(\vec{d}(a, b)\) détermine la direction de la droite
• Le point O(xO, yO) fixe la position de la droite
• On peut multiplier l'équation par -1 pour simplifier les coefficients
