A(xA, yA) ———— AB ———— B(xB, yB)
La distance entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est : \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \)
- Identifier les coordonnées de A et B
- Calculer la différence des abscisses : \( x_B - x_A \)
- Calculer la différence des ordonnées : \( y_B - y_A \)
- Élever chaque différence au carré
- Additionner les carrés
- Prendre la racine carrée du résultat
A(2, 3) donc \( x_A = 2 \) et \( y_A = 3 \)
B(6, 7) donc \( x_B = 6 \) et \( y_B = 7 \)
\( x_B - x_A = 6 - 2 = 4 \)
\( y_B - y_A = 7 - 3 = 4 \)
\( (x_B - x_A)^2 = 4^2 = 16 \)
\( (y_B - y_A)^2 = 4^2 = 16 \)
\( (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 16 + 16 = 32 \)
\( AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
AB = \( 4\sqrt{2} \) unités
• Formule de distance : \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \)
• Calculer les différences de coordonnées
• Élever au carré chaque différence
• Additionner les carrés
• Prendre la racine carrée du total
Pour deux points C(xC, yC) et D(xD, yD) : \( CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} \)
C(-1, 4) donc \( x_C = -1 \) et \( y_C = 4 \)
D(5, -2) donc \( x_D = 5 \) et \( y_D = -2 \)
\( x_D - x_C = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6 \)
\( y_D - y_C = -2 - 4 = -6 \)
\( (x_D - x_C)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (y_D - y_C)^2 = (-6)^2 = 36 \)
\( (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 = 36 + 36 = 72 \)
\( CD = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
CD = \( 6\sqrt{2} \) unités
• Formule de distance : \( CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} \)
• Attention aux signes : soustraire un nombre négatif revient à ajouter
• \( (-a)^2 = a^2 \), donc le signe n'affecte pas le carré
• Simplifier la racine si possible
La distance entre deux points E(xE, yE) et F(xF, yF) est : \( EF = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2} \)
E(0, 0) donc \( x_E = 0 \) et \( y_E = 0 \)
F(8, 6) donc \( x_F = 8 \) et \( y_F = 6 \)
\( x_F - x_E = 8 - 0 = 8 \)
\( y_F - y_E = 6 - 0 = 6 \)
\( (x_F - x_E)^2 = 8^2 = 64 \)
\( (y_F - y_E)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2 = 64 + 36 = 100 \)
\( EF = \sqrt{100} = 10 \)
EF = 10 unités
• Formule de distance : \( EF = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2} \)
• Soustraire zéro ne change pas la valeur
• \( \sqrt{100} = 10 \), une racine carrée exacte
• Ce cas particulier est le théorème de Pythagore classique
La distance entre deux points G(xG, yG) et H(xH, yH) est : \( GH = \sqrt{(x_H - x_G)^2 + (y_H - y_G)^2} \)
G(3, -5) donc \( x_G = 3 \) et \( y_G = -5 \)
H(-3, 5) donc \( x_H = -3 \) et \( y_H = 5 \)
\( x_H - x_G = -3 - 3 = -6 \)
\( y_H - y_G = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10 \)
\( (x_H - x_G)^2 = (-6)^2 = 36 \)
\( (y_H - y_G)^2 = 10^2 = 100 \)
\( (x_H - x_G)^2 + (y_H - y_G)^2 = 36 + 100 = 136 \)
\( GH = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34} \)
GH = \( 2\sqrt{34} \) unités
• Formule de distance : \( GH = \sqrt{(x_H - x_G)^2 + (y_H - y_G)^2} \)
• \( (-a)^2 = a^2 \), donc les signes disparaissent dans les carrés
• Attention aux changements de signe dans les soustractions
• Simplifier la racine en décomposant en facteurs
Pour deux points I(xI, yI) et J(xJ, yJ) : \( IJ = \sqrt{(x_J - x_I)^2 + (y_J - y_I)^2} \)
I(-2, -4) donc \( x_I = -2 \) et \( y_I = -4 \)
J(4, 2) donc \( x_J = 4 \) et \( y_J = 2 \)
\( x_J - x_I = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \)
\( y_J - y_I = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 \)
\( (x_J - x_I)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (y_J - y_I)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (x_J - x_I)^2 + (y_J - y_I)^2 = 36 + 36 = 72 \)
\( IJ = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
IJ = \( 6\sqrt{2} \) unités
• Formule de distance : \( IJ = \sqrt{(x_J - x_I)^2 + (y_J - y_I)^2} \)
• Soustraire un nombre négatif revient à ajouter
• Les deux différences sont positives dans ce cas
• La distance est symétrique : IJ = JI
La distance entre deux points K(xK, yK) et L(xL, yL) est : \( KL = \sqrt{(x_L - x_K)^2 + (y_L - y_K)^2} \)
K(1, 1) donc \( x_K = 1 \) et \( y_K = 1 \)
L(7, 9) donc \( x_L = 7 \) et \( y_L = 9 \)
\( x_L - x_K = 7 - 1 = 6 \)
\( y_L - y_K = 9 - 1 = 8 \)
\( (x_L - x_K)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (y_L - y_K)^2 = 8^2 = 64 \)
\( (x_L - x_K)^2 + (y_L - y_K)^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( KL = \sqrt{100} = 10 \)
KL = 10 unités
• Formule de distance : \( KL = \sqrt{(x_L - x_K)^2 + (y_L - y_K)^2} \)
• \( 6^2 = 36 \) et \( 8^2 = 64 \)
• \( 36 + 64 = 100 \)
• \( \sqrt{100} = 10 \), une racine carrée exacte
La distance entre deux points M(xM, yM) et N(xN, yN) est : \( MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} \)
M(-3, -1) donc \( x_M = -3 \) et \( y_M = -1 \)
N(5, 3) donc \( x_N = 5 \) et \( y_N = 3 \)
\( x_N - x_M = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \)
\( y_N - y_M = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \)
\( (x_N - x_M)^2 = 8^2 = 64 \)
\( (y_N - y_M)^2 = 4^2 = 16 \)
\( (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 = 64 + 16 = 80 \)
\( MN = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \)
MN = \( 4\sqrt{5} \) unités
• Formule de distance : \( MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} \)
• Attention aux signes : soustraire un nombre négatif revient à ajouter
• \( 8^2 = 64 \) et \( 4^2 = 16 \)
• Simplifier la racine en décomposant en facteurs premiers
La distance entre deux points P(xP, yP) et Q(xQ, yQ) est : \( PQ = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2} \)
P(0, 5) donc \( x_P = 0 \) et \( y_P = 5 \)
Q(10, -3) donc \( x_Q = 10 \) et \( y_Q = -3 \)
\( x_Q - x_P = 10 - 0 = 10 \)
\( y_Q - y_P = -3 - 5 = -8 \)
\( (x_Q - x_P)^2 = 10^2 = 100 \)
\( (y_Q - y_P)^2 = (-8)^2 = 64 \)
\( (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 = 100 + 64 = 164 \)
\( PQ = \sqrt{164} = \sqrt{4 \times 41} = 2\sqrt{41} \)
PQ = \( 2\sqrt{41} \) unités
• Formule de distance : \( PQ = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2} \)
• Soustraire zéro ne change pas la valeur
• \( (-a)^2 = a^2 \), donc le signe disparaît dans le carré
• Décomposer 164 en facteurs pour simplifier la racine
La distance entre deux points R(xR, yR) et S(xS, yS) est : \( RS = \sqrt{(x_S - x_R)^2 + (y_S - y_R)^2} \)
R(-4, 6) donc \( x_R = -4 \) et \( y_R = 6 \)
S(2, -2) donc \( x_S = 2 \) et \( y_S = -2 \)
\( x_S - x_R = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 \)
\( y_S - y_R = -2 - 6 = -8 \)
\( (x_S - x_R)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (y_S - y_R)^2 = (-8)^2 = 64 \)
\( (x_S - x_R)^2 + (y_S - y_R)^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( RS = \sqrt{100} = 10 \)
RS = 10 unités
• Formule de distance : \( RS = \sqrt{(x_S - x_R)^2 + (y_S - y_R)^2} \)
• \( (-a)^2 = a^2 \), donc le signe n'affecte pas le carré
• \( 6^2 = 36 \) et \( (-8)^2 = 64 \)
• \( \sqrt{100} = 10 \), une racine carrée exacte
La distance entre deux points T(xT, yT) et U(xU, yU) est : \( TU = \sqrt{(x_U - x_T)^2 + (y_U - y_T)^2} \)
T(6, -1) donc \( x_T = 6 \) et \( y_T = -1 \)
U(-2, 7) donc \( x_U = -2 \) et \( y_U = 7 \)
\( x_U - x_T = -2 - 6 = -8 \)
\( y_U - y_T = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8 \)
\( (x_U - x_T)^2 = (-8)^2 = 64 \)
\( (y_U - y_T)^2 = 8^2 = 64 \)
\( (x_U - x_T)^2 + (y_U - y_T)^2 = 64 + 64 = 128 \)
\( TU = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \)
TU = \( 8\sqrt{2} \) unités
• Formule de distance : \( TU = \sqrt{(x_U - x_T)^2 + (y_U - y_T)^2} \)
• Les deux différences ont des signes opposés mais leurs carrés sont égaux
• \( (-8)^2 = 64 \) et \( 8^2 = 64 \)
• Simplifier la racine en décomposant en facteurs
