Milieu d’un segment – coordonnées

Infographie & Exercices

\( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Coordonnées du milieu d'un segment [AB]

Formule du milieu

\( x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \)

\( y_I = \frac{y_A + y_B}{2} \)

Propriété vectorielle

\( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \)

\( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \)

📊 Représentation graphique du milieu d’un segment
A(xA, yA) ———— I(milieu) ———— B(xB, yB)

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Définition : Le milieu I d’un segment [AB] est le point qui partage ce segment en deux parties égales.

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Coordonnées : Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors I a pour coordonnées \( \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \).

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Méthode : Additionner les abscisses, diviser par 2 ; faire de même avec les ordonnées.

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Propriété vectorielle : \( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \) et \( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \).

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Conseil : Toujours vérifier que le milieu est bien entre les deux extrémités

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Attention : Ne pas confondre avec la distance AB

⚡

Astuce : Le milieu est toujours à égale distance des deux extrémités

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Vérification : Utiliser la propriété vectorielle pour valider le résultat

Exercice 1

Trouver le milieu de [AB] avec A(2, 3) et B(6, 7)

Exercice 2

Calculer le milieu de [CD] avec C(-1, 4) et D(5, -2)

Exercice 3

Trouver I milieu de [EF] avec E(0, 0) et F(8, 6)

Exercice 4

Déterminer le milieu de [GH] avec G(3, -5) et H(-3, 5)

Exercice 5

Calculer le milieu de [IJ] avec I(-2, -4) et J(4, 2)

Exercice 6

Trouver K milieu de [LM] avec L(1, 1) et M(7, 9)

Exercice 7

Déterminer le milieu de [NP] avec N(-3, -1) et P(5, 3)

Exercice 8

Calculer le milieu de [QR] avec Q(0, 5) et R(10, -3)

Exercice 9

Trouver le milieu de [ST] avec S(-4, 6) et T(2, -2)

Exercice 10

Déterminer le milieu de [UV] avec U(6, -1) et V(-2, 7)

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Milieu de [AB] avec A(2, 3) et B(6, 7)

Définition du milieu :

Le milieu I d’un segment [AB] a pour coordonnées : \( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Méthode de calcul :

Identifier les coordonnées de A et B
Calculer l’abscisse du milieu : \( x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \)
Calculer l’ordonnée du milieu : \( y_I = \frac{y_A + y_B}{2} \)
Donner les coordonnées du point I

Étape 1 : Données du problème

A(2, 3) donc \( x_A = 2 \) et \( y_A = 3 \)

B(6, 7) donc \( x_B = 6 \) et \( y_B = 7 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (4, 5)

Réponse finale :

I(4, 5)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

• Additionner les abscisses, diviser par 2

• Additionner les ordonnées, diviser par 2

• Le point I est à égale distance de A et B

2 Milieu de [CD] avec C(-1, 4) et D(5, -2)

Formule du milieu :

Pour un segment [AB], le milieu I a pour coordonnées : \( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

C(-1, 4) donc \( x_C = -1 \) et \( y_C = 4 \)

D(5, -2) donc \( x_D = 5 \) et \( y_D = -2 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_I = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_I = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu I du segment [CD] a pour coordonnées (2, 1)

Réponse finale :

I(2, 1)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( I = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) \)

• Attention aux signes négatifs lors des calculs

• Additionner les coordonnées correspondantes

• Diviser chaque somme par 2

3 Milieu de [EF] avec E(0, 0) et F(8, 6)

Formule du milieu :

Le milieu I d’un segment [AB] est donné par : \( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

E(0, 0) donc \( x_E = 0 \) et \( y_E = 0 \)

F(8, 6) donc \( x_F = 8 \) et \( y_F = 6 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_I = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_I = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu I du segment [EF] a pour coordonnées (4, 3)

Réponse finale :

I(4, 3)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( I = \left(\frac{x_E + x_F}{2}, \frac{y_E + y_F}{2}\right) \)

• Le point origine (0,0) ne change pas la somme

• Division par 2 des coordonnées non nulles

• Vérification : I est au centre du segment [EF]

4 Milieu de [GH] avec G(3, -5) et H(-3, 5)

Formule du milieu :

Le milieu I d’un segment [AB] est : \( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

G(3, -5) donc \( x_G = 3 \) et \( y_G = -5 \)

H(-3, 5) donc \( x_H = -3 \) et \( y_H = 5 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_I = \frac{x_G + x_H}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_I = \frac{y_G + y_H}{2} = \frac{-5 + 5}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu I du segment [GH] a pour coordonnées (0, 0)

Réponse finale :

I(0, 0)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( I = \left(\frac{x_G + x_H}{2}, \frac{y_G + y_H}{2}\right) \)

• Les coordonnées opposées s'annulent dans la somme

• Le milieu est l'origine du repère

• G et H sont symétriques par rapport à l'origine

5 Milieu de [IJ] avec I(-2, -4) et J(4, 2)

Formule du milieu :

Pour un segment [AB], le milieu I a pour coordonnées : \( I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

I(-2, -4) donc \( x_I = -2 \) et \( y_I = -4 \)

J(4, 2) donc \( x_J = 4 \) et \( y_J = 2 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_K = \frac{x_I + x_J}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_K = \frac{y_I + y_J}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu K du segment [IJ] a pour coordonnées (1, -1)

Réponse finale :

K(1, -1)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( K = \left(\frac{x_I + x_J}{2}, \frac{y_I + y_J}{2}\right) \)

• Attention à la notation : I est un point du segment, pas le milieu

• On calcule le milieu du segment [IJ], donc on appelle ce point K

• Respecter les priorités des opérations

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Milieu de [LM] avec L(1, 1) et M(7, 9)

Formule du milieu :

Le milieu K d’un segment [AB] est : \( K = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

L(1, 1) donc \( x_L = 1 \) et \( y_L = 1 \)

M(7, 9) donc \( x_M = 7 \) et \( y_M = 9 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_K = \frac{x_L + x_M}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_K = \frac{y_L + y_M}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu K du segment [LM] a pour coordonnées (4, 5)

Réponse finale :

K(4, 5)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( K = \left(\frac{x_L + x_M}{2}, \frac{y_L + y_M}{2}\right) \)

• Additionner les abscisses : 1 + 7 = 8

• Additionner les ordonnées : 1 + 9 = 10

• Diviser chaque somme par 2

7 Milieu de [NP] avec N(-3, -1) et P(5, 3)

Formule du milieu :

Le milieu Q d’un segment [AB] est : \( Q = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

N(-3, -1) donc \( x_N = -3 \) et \( y_N = -1 \)

P(5, 3) donc \( x_P = 5 \) et \( y_P = 3 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_Q = \frac{x_N + x_P}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_Q = \frac{y_N + y_P}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu Q du segment [NP] a pour coordonnées (1, 1)

Réponse finale :

Q(1, 1)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( Q = \left(\frac{x_N + x_P}{2}, \frac{y_N + y_P}{2}\right) \)

• Attention aux signes : -3 + 5 = 2

• -1 + 3 = 2

• Chaque somme divisée par 2 donne 1

8 Milieu de [QR] avec Q(0, 5) et R(10, -3)

Formule du milieu :

Le milieu S d’un segment [AB] est : \( S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

Q(0, 5) donc \( x_Q = 0 \) et \( y_Q = 5 \)

R(10, -3) donc \( x_R = 10 \) et \( y_R = -3 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_S = \frac{x_Q + x_R}{2} = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_S = \frac{y_Q + y_R}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu S du segment [QR] a pour coordonnées (5, 1)

Réponse finale :

S(5, 1)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( S = \left(\frac{x_Q + x_R}{2}, \frac{y_Q + y_R}{2}\right) \)

• 0 + 10 = 10, divisé par 2 = 5

• 5 + (-3) = 2, divisé par 2 = 1

• Le milieu est entre les deux points donnés

9 Milieu de [ST] avec S(-4, 6) et T(2, -2)

Formule du milieu :

Le milieu U d’un segment [AB] est : \( U = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

S(-4, 6) donc \( x_S = -4 \) et \( y_S = 6 \)

T(2, -2) donc \( x_T = 2 \) et \( y_T = -2 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_U = \frac{x_S + x_T}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_U = \frac{y_S + y_T}{2} = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu U du segment [ST] a pour coordonnées (-1, 2)

Réponse finale :

U(-1, 2)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( U = \left(\frac{x_S + x_T}{2}, \frac{y_S + y_T}{2}\right) \)

• -4 + 2 = -2, divisé par 2 = -1

• 6 + (-2) = 4, divisé par 2 = 2

• Le milieu est à égale distance des deux extrémités

10 Milieu de [UV] avec U(6, -1) et V(-2, 7)

Formule du milieu :

Le milieu W d’un segment [AB] est : \( W = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Étape 1 : Données du problème

U(6, -1) donc \( x_U = 6 \) et \( y_U = -1 \)

V(-2, 7) donc \( x_V = -2 \) et \( y_V = 7 \)

Étape 2 : Calcul de l'abscisse du milieu

\( x_W = \frac{x_U + x_V}{2} = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Étape 3 : Calcul de l'ordonnée du milieu

\( y_W = \frac{y_U + y_V}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Étape 4 : Conclusion

Le milieu W du segment [UV] a pour coordonnées (2, 3)

Réponse finale :

W(2, 3)

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \( W = \left(\frac{x_U + x_V}{2}, \frac{y_U + y_V}{2}\right) \)

• 6 + (-2) = 4, divisé par 2 = 2

• -1 + 7 = 6, divisé par 2 = 3

• Le point W est au centre du segment [UV]

Milieu d’un segment– coordonnées

Milieu d’un segment
– coordonnées