Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \).
- Calculer les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \)
- Calculer les coordonnées de \( \overrightarrow{AC} \)
- Vérifier si les vecteurs sont colinéaires en calculant le déterminant
- Si le déterminant est nul, les points sont alignés
\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \)
\( \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \)
\( \overrightarrow{AC} = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = x_{AB} \cdot y_{AC} - x_{AC} \cdot y_{AB} \)
\( = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points A(1, 2), B(3, 4) et C(5, 6) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{AC} = 2 \cdot \overrightarrow{AB} \)
Trois points D, E et F sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{DE} \) et \( \overrightarrow{DF} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{DE} = (x_E - x_D, y_E - y_D) \)
\( \overrightarrow{DE} = (2 - (-1), 3 - 1) = (3, 2) \)
\( \overrightarrow{DF} = (x_F - x_D, y_F - y_D) \)
\( \overrightarrow{DF} = (5 - (-1), 5 - 1) = (6, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{DF}) = x_{DE} \cdot y_{DF} - x_{DF} \cdot y_{DE} \)
\( = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points D(-1, 1), E(2, 3) et F(5, 5) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{DE} \) et \( \overrightarrow{DF} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{DF} = 2 \cdot \overrightarrow{DE} \)
Trois points G, H et I sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{GH} \) et \( \overrightarrow{GI} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{GH} = (x_H - x_G, y_H - y_G) \)
\( \overrightarrow{GH} = (2 - 0, 1 - (-1)) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{GI} = (x_I - x_G, y_I - y_G) \)
\( \overrightarrow{GI} = (4 - 0, 3 - (-1)) = (4, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{GH}, \overrightarrow{GI}) = x_{GH} \cdot y_{GI} - x_{GI} \cdot y_{GH} \)
\( = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points G(0, -1), H(2, 1) et I(4, 3) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{GH} \) et \( \overrightarrow{GI} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{GI} = 2 \cdot \overrightarrow{GH} \)
Trois points J, K et L sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{JK} \) et \( \overrightarrow{JL} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{JK} = (x_K - x_J, y_K - y_J) \)
\( \overrightarrow{JK} = (3 - 1, 2 - 0) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{JL} = (x_L - x_J, y_L - y_J) \)
\( \overrightarrow{JL} = (5 - 1, 5 - 0) = (4, 5) \)
\( \det(\overrightarrow{JK}, \overrightarrow{JL}) = x_{JK} \cdot y_{JL} - x_{JL} \cdot y_{JK} \)
\( = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 10 - 8 = 2 \)
Le déterminant est non nul (2 ≠ 0)
Les points J(1, 0), K(3, 2) et L(5, 5) ne sont pas alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{JK} \) et \( \overrightarrow{JL} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• Comme le déterminant est non nul, les points ne sont pas alignés
Trois points M, N et O sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{MN} \) et \( \overrightarrow{MO} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) \)
\( \overrightarrow{MN} = (1 - (-2), 1 - (-3)) = (3, 4) \)
\( \overrightarrow{MO} = (x_O - x_M, y_O - y_M) \)
\( \overrightarrow{MO} = (4 - (-2), 5 - (-3)) = (6, 8) \)
\( \det(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MO}) = x_{MN} \cdot y_{MO} - x_{MO} \cdot y_{MN} \)
\( = 3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 = 24 - 24 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points M(-2, -3), N(1, 1) et O(4, 5) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{MN} \) et \( \overrightarrow{MO} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{MO} = 2 \cdot \overrightarrow{MN} \)
Trois points P, Q et R sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{PQ} \) et \( \overrightarrow{PR} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P, y_Q - y_P) \)
\( \overrightarrow{PQ} = (4 - 2, 1 - (-1)) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{PR} = (x_R - x_P, y_R - y_P) \)
\( \overrightarrow{PR} = (6 - 2, 3 - (-1)) = (4, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = x_{PQ} \cdot y_{PR} - x_{PR} \cdot y_{PQ} \)
\( = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points P(2, -1), Q(4, 1) et R(6, 3) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{PQ} \) et \( \overrightarrow{PR} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{PR} = 2 \cdot \overrightarrow{PQ} \)
Trois points S, T et U sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{ST} \) et \( \overrightarrow{SU} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{ST} = (x_T - x_S, y_T - y_S) \)
\( \overrightarrow{ST} = (-1 - (-3), 4 - 2) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{SU} = (x_U - x_S, y_U - y_S) \)
\( \overrightarrow{SU} = (1 - (-3), 6 - 2) = (4, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{ST}, \overrightarrow{SU}) = x_{ST} \cdot y_{SU} - x_{SU} \cdot y_{ST} \)
\( = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points S(-3, 2), T(-1, 4) et U(1, 6) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{ST} \) et \( \overrightarrow{SU} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{SU} = 2 \cdot \overrightarrow{ST} \)
Trois points V, W et X sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{VW} \) et \( \overrightarrow{VX} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{VW} = (x_W - x_V, y_W - y_V) \)
\( \overrightarrow{VW} = (2 - 0, 2 - 0) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{VX} = (x_X - x_V, y_X - y_V) \)
\( \overrightarrow{VX} = (4 - 0, 5 - 0) = (4, 5) \)
\( \det(\overrightarrow{VW}, \overrightarrow{VX}) = x_{VW} \cdot y_{VX} - x_{VX} \cdot y_{VW} \)
\( = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 10 - 8 = 2 \)
Le déterminant est non nul (2 ≠ 0)
Les points V(0, 0), W(2, 2) et X(4, 5) ne sont pas alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{VW} \) et \( \overrightarrow{VX} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• Comme le déterminant est non nul, les points ne sont pas alignés
Trois points Y, Z et A sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{YZ} \) et \( \overrightarrow{YA} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{YZ} = (x_Z - x_Y, y_Z - y_Y) \)
\( \overrightarrow{YZ} = (1 - (-1), 0 - (-2)) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{YA} = (x_A - x_Y, y_A - y_Y) \)
\( \overrightarrow{YA} = (3 - (-1), 2 - (-2)) = (4, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{YZ}, \overrightarrow{YA}) = x_{YZ} \cdot y_{YA} - x_{YA} \cdot y_{YZ} \)
\( = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points Y(-1, -2), Z(1, 0) et A(3, 2) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{YZ} \) et \( \overrightarrow{YA} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{YA} = 2 \cdot \overrightarrow{YZ} \)
Trois points B, C et D sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{BD} \) sont colinéaires.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
\( \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) \)
\( \overrightarrow{BC} = (3 - 1, 5 - 3) = (2, 2) \)
\( \overrightarrow{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) \)
\( \overrightarrow{BD} = (5 - 1, 7 - 3) = (4, 4) \)
\( \det(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}) = x_{BC} \cdot y_{BD} - x_{BD} \cdot y_{BC} \)
\( = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \)
Le déterminant est nul
Les points B(1, 3), C(3, 5) et D(5, 7) sont alignés.
• Critère d'alignement : \( \overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{BD} \) colinéaires
• Formule du déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \overrightarrow{BD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC} \)
