Applications de la Colinéarité à l'Alignement | Géométrie Plane Seconde

Pour démontrer que trois points A, B et C sont alignés, on peut :

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
2. Vérifier que ces vecteurs sont colinéaires en calculant leur déterminant
3. Si \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\), alors les points sont alignés

Soient A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) et C(x_C, y_C).

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont pour coordonnées :

• \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• \(\overrightarrow{AC}(x_C - x_A, y_C - y_A)\)

Le déterminant est : \( \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) \)

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si ce déterminant est nul.

Montrer qu'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\).

Cela signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont la même direction.

Montrer que le point C appartient à la droite (AB).

On peut déterminer l'équation de la droite (AB) et vérifier que C satisfait cette équation.

Calculons les coordonnées des vecteurs :

• \(\overrightarrow{AB}(3-1, 4-2) = (2, 2)\)
• \(\overrightarrow{AC}(5-1, 6-2) = (4, 4)\)

Calculons le déterminant :

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.

Conclusion : Les points A, B et C sont alignés.

Calculons les coordonnées des vecteurs :

• \(\overrightarrow{AB}(2-(-1), 1-3) = (3, -2)\)
• \(\overrightarrow{AC}(5-(-1), -1-3) = (6, -4)\)

Vérifions s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\) :

On cherche \(k\) tel que : \( (6, -4) = k(3, -2) \)

Soit : \( 6 = 3k \) et \( -4 = -2k \)

Donc : \( k = 2 \) et \( k = 2 \)

Les deux équations donnent le même \(k\), donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\).

Conclusion : Les points A, B et C sont alignés.

La méthode de l'alignement permet de :

• Démontrer que trois points sont alignés
• Identifier des points situés sur une même droite
• Reconnaître des figures dégénérées
• Résoudre des problèmes d'intersection

• 1 Positionnement de points sur une carte
• 2 Alignement de structures architecturales
• 3 Dessin technique et conception
• 4 Navigation et cartographie

Avec A(2, 1), B(4, 3) et C(6, 5) :

Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont (2, 2).

Les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) sont (4, 4).

Méthode 1 : Calcul du déterminant

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.

Donc les points A, B et C sont alignés.

Méthode 2 : Recherche d'une relation vectorielle

On remarque que : \(\overrightarrow{AC} = (4, 4) = 2(2, 2) = 2\overrightarrow{AB}\)

Donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\), ce qui prouve que les vecteurs sont colinéaires.

Conclusion : Les points A, B et C sont alignés.

Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Soit D(x, y). Alors : \(\overrightarrow{DC} = (6-x, 5-y)\)

On veut : \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\)

Donc : \( (6-x, 5-y) = (2, 2) \)

Cela donne : \( 6-x = 2 \) et \( 5-y = 2 \)

Soit : \( x = 4 \) et \( y = 3 \)

Les coordonnées de D sont (4, 3).

Remarque : D a les mêmes coordonnées que B, donc ABCD est en fait un triangle aplati.

On a D(4, 3) qui est le même point que B(4, 3).

Donc les points A, B, C et D sont les mêmes que les points A, B, C.

Comme on a déjà démontré que A, B et C sont alignés, les points A, B, C et D sont aussi alignés.

Remarque : Ce n'est pas un vrai parallélogramme mais un triangle aplati.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si :

• Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires
• Le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est nul
• Il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\)

• Calcul du déterminant des vecteurs
• Recherche d'une relation vectorielle
• Vérification de l'appartenance à une droite

• Démontrer que des points sont alignés
• Identifier des figures dégénérées
• Résoudre des problèmes de géométrie analytique
• Valider des constructions géométriques