Vecteurs Directeurs | Géométrie Plane Seconde

Soient A et B deux points distincts d'une droite (d).

Alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de la droite (d).

Tous les vecteurs non nuls colinéaires à \(\overrightarrow{AB}\) sont aussi des vecteurs directeurs de (d).

Soit une droite (d) d'équation cartésienne : \( ax + by + c = 0 \) (avec a et b non tous deux nuls).

Un vecteur directeur de cette droite est : \( \vec{u}(-b, a) \).

Un vecteur normal à cette droite est : \( \vec{n}(a, b) \).

Le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal.

Soit la droite (d₁) d'équation : \( 2x - 3y + 5 = 0 \).

On a a = 2, b = -3, c = 5.

Un vecteur directeur est : \( \vec{u}_1(-(-3), 2) = \vec{u}_1(3, 2) \).

Soit la droite (d₂) d'équation : \( x + 4y - 2 = 0 \).

On a a = 1, b = 4, c = -2.

Un vecteur directeur est : \( \vec{u}_2(-4, 1) \).

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont des vecteurs directeurs d'une même droite, alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Autrement dit, il existe un réel \(k\) non nul tel que : \( \vec{v} = k\vec{u} \).

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Soient (d₁) de vecteur directeur \(\vec{u}_1\) et (d₂) de vecteur directeur \(\vec{u}_2\).

Alors : \( (d_1) \parallel (d_2) \Leftrightarrow \vec{u}_1 \) et \(\vec{u}_2\) sont colinéaires

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Soient (d₁) de vecteur directeur \(\vec{u}_1(x_1, y_1)\) et (d₂) de vecteur directeur \(\vec{u}_2(x_2, y_2)\).

Alors : \( (d_1) \perp (d_2) \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0 \)

Les vecteurs directeurs permettent de :

• Démontrer que deux droites sont parallèles
• Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
• Déterminer l'équation d'une droite passant par un point et parallèle à une autre droite
• Résoudre des problèmes d'alignement

• 1 Dessin technique et infographie
• 2 Cartographie et navigation
• 3 Architecture et construction
• 4 Programmation graphique et jeux

Soient A(1, 2) et B(4, 1).

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de la droite (AB).

Donc \(\vec{u}(3, -1)\) est un vecteur directeur de la droite (AB).

On sait que \(\vec{u}(3, -1)\) est un vecteur directeur de (AB).

Un vecteur normal à (AB) est donc \(\vec{n}(1, 3)\) (car \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 3 \times 1 + (-1) \times 3 = 0\)).

L'équation cartésienne de (AB) est de la forme : \( 1x + 3y + c = 0 \) ou \( x + 3y + c = 0 \).

Comme A(1, 2) appartient à (AB) : \( 1 + 3 \times 2 + c = 0 \)

Donc : \( 1 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = -7 \)

Une équation de (AB) est : \( x + 3y - 7 = 0 \).

La droite (d) passant par C(2, 5) et parallèle à (AB) a le même vecteur directeur que (AB).

Donc \(\vec{v}(3, -1)\) est un vecteur directeur de la droite (d).

On peut aussi dire que tout vecteur colinéaire à (3, -1) est un vecteur directeur de (d).

Calculons les vecteurs directeurs de (AB) et (AC) :

\(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\) (calculé précédemment)

\(\overrightarrow{AC} = (2-1, 5-2) = (1, 3)\)

Pour que (AB) ⊥ (AC), il faut que \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).

Donc (AB) ⊥ (AC). Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite.

Si A et B sont deux points distincts d'une droite (d), alors \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de (d).

Pour une droite d'équation \( ax + by + c = 0 \) :

• Un vecteur directeur est \( \vec{u}(-b, a) \)
• Un vecteur normal est \( \vec{n}(a, b) \)
• Le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal

• Déterminer si deux droites sont parallèles
• Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
• Trouver l'équation d'une droite parallèle à une autre
• Résoudre des problèmes d'alignement et de positionnement