Critère de Colinéarité | Géométrie Plane Seconde

Les propositions suivantes sont équivalentes :

• Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires
• Il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\) ou \(\vec{v} = k\vec{u}\)
• Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est nul
• Les points O, A et B sont alignés si \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\)

Soient deux vecteurs \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\) dans un repère (O, I, J).

Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si :

Cette expression est appelée le déterminant des deux vecteurs.

On le note : \( \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_1y_2 - x_2y_1 \)

Soient \(\vec{u}(2, 4)\) et \(\vec{v}(3, 6)\).

Calculons le déterminant : \( \det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0 \)

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.

En effet, on peut vérifier que : \(\vec{v} = \frac{3}{2}\vec{u}\)

Soient \(\vec{a}(1, 3)\) et \(\vec{b}(2, 5)\).

Calculons le déterminant : \( \det(\vec{a}, \vec{b}) = 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1 \)

Le déterminant est non nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Autrement dit, si : \( \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0 \)

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Soient les droites (AB) et (CD). Elles sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Cela revient à dire que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont égaux, donc colinéaires et de même norme et sens.

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, alors pour tout réel \(k\) et \(l\) :

La colinéarité est préservée par multiplication par un réel.

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs colinéaires, et \(a\) et \(b\) deux réels.

Alors le vecteur \(a\vec{u} + b\vec{v}\) est colinéaire à \(\vec{u}\) (et à \(\vec{v}\)).

Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.

Cela signifie qu'il existe un réel \(k\) tel que : \( \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \)

Soient A(1, 2), B(4, 3) et C(7, 4).

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) :

Coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) :

On a \(\overrightarrow{AB} = (3, 1)\) et \(\overrightarrow{AC} = (6, 2)\).

Calculons le déterminant :

Le déterminant est nul, donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Puisque \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, les points A, B et C sont alignés.

On peut vérifier que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\), ce qui signifie que C est sur la demi-droite [AB) et à une distance double de A.

Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Soit D(x, y). On a \(\overrightarrow{DC} = (7-x, 4-y)\).

On veut : \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \)

Donc : \( (7-x, 4-y) = (3, 1) \)

Cela donne : \( 7-x = 3 \) et \( 4-y = 1 \)

Soit : \( x = 4 \) et \( y = 3 \)

Les coordonnées de D sont (4, 3).

Remarque : D a les mêmes coordonnées que B, donc ABCD est en fait un triangle aplati (ce n'est pas un vrai parallélogramme).

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.

Autrement dit, s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\) ou \(\vec{v} = k\vec{u}\).

Soient \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\).

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si : \( x_1y_2 - x_2y_1 = 0 \)

Cette expression est le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

• Vérifier l'alignement de points
• Démontrer le parallélisme de droites
• Identifier des parallélogrammes
• Résoudre des problèmes de géométrie analytique