Deux vecteurs \( \vec{u}(x_u, y_u) \) et \( \vec{v}(x_v, y_v) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
- Identifier les coordonnées de chaque vecteur
- Appliquer la formule : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u \)
- Si le résultat est 0, les vecteurs sont colinéaires
- Si le résultat est différent de 0, ils ne sont pas colinéaires
\( \vec{u}(2, 4) \) et \( \vec{v}(1, 2) \)
Donc \( x_u = 2 \), \( y_u = 4 \), \( x_v = 1 \), \( y_v = 2 \)
\( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \)
\( = 4 - 4 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{u}(2, 4) \) et \( \vec{v}(1, 2) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
• On peut aussi vérifier que \( \vec{v} = k \cdot \vec{u} \) avec \( k = \frac{1}{2} \)
• En effet, \( \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot \vec{u} \) car \( (1, 2) = \frac{1}{2} \cdot (2, 4) \)
Deux vecteurs \( \vec{a}(x_a, y_a) \) et \( \vec{b}(x_b, y_b) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_a \cdot y_b - x_b \cdot y_a = 0 \)
\( \vec{a}(3, -6) \) et \( \vec{b}(-1, 2) \)
Donc \( x_a = 3 \), \( y_a = -6 \), \( x_b = -1 \), \( y_b = 2 \)
\( x_a \cdot y_b - x_b \cdot y_a = 3 \cdot 2 - (-1) \cdot (-6) \)
\( = 6 - 6 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{a}(3, -6) \) et \( \vec{b}(-1, 2) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_a \cdot y_b - x_b \cdot y_a = 0 \)
• On peut vérifier que \( \vec{b} = k \cdot \vec{a} \) avec \( k = -\frac{1}{3} \)
• En effet, \( \vec{b} = -\frac{1}{3} \cdot \vec{a} \) car \( (-1, 2) = -\frac{1}{3} \cdot (3, -6) \)
Deux vecteurs \( \vec{p}(x_p, y_p) \) et \( \vec{q}(x_q, y_q) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_p \cdot y_q - x_q \cdot y_p = 0 \)
\( \vec{p}(4, 2) \) et \( \vec{q}(6, 3) \)
Donc \( x_p = 4 \), \( y_p = 2 \), \( x_q = 6 \), \( y_q = 3 \)
\( x_p \cdot y_q - x_q \cdot y_p = 4 \cdot 3 - 6 \cdot 2 \)
\( = 12 - 12 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{p}(4, 2) \) et \( \vec{q}(6, 3) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_p \cdot y_q - x_q \cdot y_p = 0 \)
• On peut vérifier que \( \vec{q} = k \cdot \vec{p} \) avec \( k = \frac{3}{2} \)
• En effet, \( \vec{q} = \frac{3}{2} \cdot \vec{p} \) car \( (6, 3) = \frac{3}{2} \cdot (4, 2) \)
Deux vecteurs \( \vec{m}(x_m, y_m) \) et \( \vec{n}(x_n, y_n) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_m \cdot y_n - x_n \cdot y_m = 0 \)
\( \vec{m}(1, 3) \) et \( \vec{n}(2, 5) \)
Donc \( x_m = 1 \), \( y_m = 3 \), \( x_n = 2 \), \( y_n = 5 \)
\( x_m \cdot y_n - x_n \cdot y_m = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \)
\( = 5 - 6 = -1 \)
Le déterminant est différent de 0
Les vecteurs \( \vec{m}(1, 3) \) et \( \vec{n}(2, 5) \) ne sont pas colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_m \cdot y_n - x_n \cdot y_m = 0 \)
• Comme le déterminant est non nul (-1 ≠ 0), les vecteurs ne sont pas colinéaires
• Il n'existe aucun réel k tel que \( \vec{n} = k \cdot \vec{m} \)
Deux vecteurs \( \vec{r}(x_r, y_r) \) et \( \vec{s}(x_s, y_s) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_r \cdot y_s - x_s \cdot y_r = 0 \)
\( \vec{r}(-2, 4) \) et \( \vec{s}(1, -2) \)
Donc \( x_r = -2 \), \( y_r = 4 \), \( x_s = 1 \), \( y_s = -2 \)
\( x_r \cdot y_s - x_s \cdot y_r = (-2) \cdot (-2) - 1 \cdot 4 \)
\( = 4 - 4 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{r}(-2, 4) \) et \( \vec{s}(1, -2) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_r \cdot y_s - x_s \cdot y_r = 0 \)
• On peut vérifier que \( \vec{s} = k \cdot \vec{r} \) avec \( k = -\frac{1}{2} \)
• En effet, \( \vec{s} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{r} \) car \( (1, -2) = -\frac{1}{2} \cdot (-2, 4) \)
Deux vecteurs \( \vec{f}(x_f, y_f) \) et \( \vec{g}(x_g, y_g) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_f \cdot y_g - x_g \cdot y_f = 0 \)
\( \vec{f}(5, 0) \) et \( \vec{g}(10, 0) \)
Donc \( x_f = 5 \), \( y_f = 0 \), \( x_g = 10 \), \( y_g = 0 \)
\( x_f \cdot y_g - x_g \cdot y_f = 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0 \)
\( = 0 - 0 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{f}(5, 0) \) et \( \vec{g}(10, 0) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_f \cdot y_g - x_g \cdot y_f = 0 \)
• Les deux vecteurs sont horizontaux (ordonnées nulles)
• On peut vérifier que \( \vec{g} = 2 \cdot \vec{f} \) car \( (10, 0) = 2 \cdot (5, 0) \)
Deux vecteurs \( \vec{h}(x_h, y_h) \) et \( \vec{i}(x_i, y_i) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_h \cdot y_i - x_i \cdot y_h = 0 \)
\( \vec{h}(0, 3) \) et \( \vec{i}(0, -6) \)
Donc \( x_h = 0 \), \( y_h = 3 \), \( x_i = 0 \), \( y_i = -6 \)
\( x_h \cdot y_i - x_i \cdot y_h = 0 \cdot (-6) - 0 \cdot 3 \)
\( = 0 - 0 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{h}(0, 3) \) et \( \vec{i}(0, -6) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_h \cdot y_i - x_i \cdot y_h = 0 \)
• Les deux vecteurs sont verticaux (abscisses nulles)
• On peut vérifier que \( \vec{i} = -2 \cdot \vec{h} \) car \( (0, -6) = -2 \cdot (0, 3) \)
Deux vecteurs \( \vec{j}(x_j, y_j) \) et \( \vec{k}(x_k, y_k) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_j \cdot y_k - x_k \cdot y_j = 0 \)
\( \vec{j}(2, 1) \) et \( \vec{k}(-4, -2) \)
Donc \( x_j = 2 \), \( y_j = 1 \), \( x_k = -4 \), \( y_k = -2 \)
\( x_j \cdot y_k - x_k \cdot y_j = 2 \cdot (-2) - (-4) \cdot 1 \)
\( = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{j}(2, 1) \) et \( \vec{k}(-4, -2) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_j \cdot y_k - x_k \cdot y_j = 0 \)
• On peut vérifier que \( \vec{k} = -2 \cdot \vec{j} \) car \( (-4, -2) = -2 \cdot (2, 1) \)
• Les vecteurs sont de sens opposé car le coefficient est négatif
Deux vecteurs \( \vec{l}(x_l, y_l) \) et \( \vec{m}(x_m, y_m) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_l \cdot y_m - x_m \cdot y_l = 0 \)
\( \vec{l}(3, 7) \) et \( \vec{m}(6, 14) \)
Donc \( x_l = 3 \), \( y_l = 7 \), \( x_m = 6 \), \( y_m = 14 \)
\( x_l \cdot y_m - x_m \cdot y_l = 3 \cdot 14 - 6 \cdot 7 \)
\( = 42 - 42 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{l}(3, 7) \) et \( \vec{m}(6, 14) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_l \cdot y_m - x_m \cdot y_l = 0 \)
• On peut vérifier que \( \vec{m} = 2 \cdot \vec{l} \) car \( (6, 14) = 2 \cdot (3, 7) \)
• Le vecteur \( \vec{m} \) est proportionnel à \( \vec{l} \) avec un coefficient de 2
Deux vecteurs \( \vec{x}(x_x, y_x) \) et \( \vec{y}(x_y, y_y) \) sont colinéaires si et seulement si :
\( x_x \cdot y_y - x_y \cdot y_x = 0 \)
\( \vec{x}(1, -1) \) et \( \vec{y}(-3, 3) \)
Donc \( x_x = 1 \), \( y_x = -1 \), \( x_y = -3 \), \( y_y = 3 \)
\( x_x \cdot y_y - x_y \cdot y_x = 1 \cdot 3 - (-3) \cdot (-1) \)
\( = 3 - 3 = 0 \)
Le déterminant est égal à 0
Les vecteurs \( \vec{x}(1, -1) \) et \( \vec{y}(-3, 3) \) sont colinéaires.
• Critère de colinéarité : \( x_x \cdot y_y - x_y \cdot y_x = 0 \)
• On peut vérifier que \( \vec{y} = -3 \cdot \vec{x} \) car \( (-3, 3) = -3 \cdot (1, -1) \)
• Les vecteurs sont de sens opposé car le coefficient est négatif
