Dans un repère (O, I, J), si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors :
\( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \)
- Identifier les coordonnées des points A et B
- Calculer la différence des abscisses : x_B - x_A
- Calculer la différence des ordonnées : y_B - y_A
- Les coordonnées du vecteur sont (différence des abscisses, différence des ordonnées)
A(2, 1) et B(5, 4)
\( x_B - x_A = 5 - 2 = 3 \)
\( y_B - y_A = 4 - 1 = 3 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) sont (3, 3)
\( \overrightarrow{AB} = (3, 3) \)
• Formule : \( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \)
• On soustrait toujours les coordonnées de l'origine au point d'arrivée
• Le vecteur va de A vers B
Dans un repère (O, I, J), si C(x_C, y_C) et D(x_D, y_D), alors :
\( \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) \)
C(-1, 3) et D(2, -2)
\( x_D - x_C = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \)
\( y_D - y_C = -2 - 3 = -5 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{CD} \) sont (3, -5)
\( \overrightarrow{CD} = (3, -5) \)
• Formule : \( \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) \)
• Attention aux signes lors de la soustraction
• Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé
Dans un repère (O, I, J), si E(x_E, y_E) et F(x_F, y_F), alors :
\( \overrightarrow{EF} = (x_F - x_E, y_F - y_E) \)
E(0, -2) et F(3, 0)
\( x_F - x_E = 3 - 0 = 3 \)
\( y_F - y_E = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{EF} \) sont (3, 2)
\( \overrightarrow{EF} = (3, 2) \)
• Formule : \( \overrightarrow{EF} = (x_F - x_E, y_F - y_E) \)
• Lorsque l'une des coordonnées est nulle, la soustraction est simple
• Un point d'origine avec coordonnée nulle simplifie le calcul
Dans un repère (O, I, J), si G(x_G, y_G) et H(x_H, y_H), alors :
\( \overrightarrow{GH} = (x_H - x_G, y_H - y_G) \)
G(4, 1) et H(4, 5)
\( x_H - x_G = 4 - 4 = 0 \)
\( y_H - y_G = 5 - 1 = 4 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{GH} \) sont (0, 4)
\( \overrightarrow{GH} = (0, 4) \)
• Formule : \( \overrightarrow{GH} = (x_H - x_G, y_H - y_G) \)
• Lorsque les abscisses sont égales, le vecteur est vertical
• Un vecteur vertical a une abscisse nulle
Dans un repère (O, I, J), si I(x_I, y_I) et J(x_J, y_J), alors :
\( \overrightarrow{IJ} = (x_J - x_I, y_J - y_I) \)
I(-2, -3) et J(1, 2)
\( x_J - x_I = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \)
\( y_J - y_I = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{IJ} \) sont (3, 5)
\( \overrightarrow{IJ} = (3, 5) \)
• Formule : \( \overrightarrow{IJ} = (x_J - x_I, y_J - y_I) \)
• Attention aux signes lors des soustractions
• Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé
Dans un repère (O, I, J), si K(x_K, y_K) et L(x_L, y_L), alors :
\( \overrightarrow{KL} = (x_L - x_K, y_L - y_K) \)
K(3, -1) et L(-1, 4)
\( x_L - x_K = -1 - 3 = -4 \)
\( y_L - y_K = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{KL} \) sont (-4, 5)
\( \overrightarrow{KL} = (-4, 5) \)
• Formule : \( \overrightarrow{KL} = (x_L - x_K, y_L - y_K) \)
• Une abscisse négative indique un déplacement vers la gauche
• Une ordonnée positive indique un déplacement vers le haut
Dans un repère (O, I, J), si M(x_M, y_M) et N(x_N, y_N), alors :
\( \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) \)
M(-3, 2) et N(0, -1)
\( x_N - x_M = 0 - (-3) = 0 + 3 = 3 \)
\( y_N - y_M = -1 - 2 = -3 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{MN} \) sont (3, -3)
\( \overrightarrow{MN} = (3, -3) \)
• Formule : \( \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) \)
• Une abscisse positive indique un déplacement vers la droite
• Une ordonnée négative indique un déplacement vers le bas
Dans un repère (O, I, J), si P(x_P, y_P) et Q(x_Q, y_Q), alors :
\( \overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P, y_Q - y_P) \)
P(1, 3) et Q(-2, -2)
\( x_Q - x_P = -2 - 1 = -3 \)
\( y_Q - y_P = -2 - 3 = -5 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{PQ} \) sont (-3, -5)
\( \overrightarrow{PQ} = (-3, -5) \)
• Formule : \( \overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P, y_Q - y_P) \)
• Des coordonnées négatives indiquent un déplacement vers la gauche et le bas
• Le vecteur est orienté du point P vers le point Q
Dans un repère (O, I, J), si R(x_R, y_R) et S(x_S, y_S), alors :
\( \overrightarrow{RS} = (x_S - x_R, y_S - y_R) \)
R(-1, 0) et S(2, -3)
\( x_S - x_R = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \)
\( y_S - y_R = -3 - 0 = -3 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{RS} \) sont (3, -3)
\( \overrightarrow{RS} = (3, -3) \)
• Formule : \( \overrightarrow{RS} = (x_S - x_R, y_S - y_R) \)
• Une abscisse positive indique un déplacement vers la droite
• Une ordonnée négative indique un déplacement vers le bas
Dans un repère (O, I, J), si U(x_U, y_U) et V(x_V, y_V), alors :
\( \overrightarrow{UV} = (x_V - x_U, y_V - y_U) \)
U(0, 0) et V(3, 2)
\( x_V - x_U = 3 - 0 = 3 \)
\( y_V - y_U = 2 - 0 = 2 \)
Les coordonnées de \( \overrightarrow{UV} \) sont (3, 2)
\( \overrightarrow{UV} = (3, 2) \)
• Formule : \( \overrightarrow{UV} = (x_V - x_U, y_V - y_U) \)
• Lorsque l'origine est l'origine du repère, les coordonnées du vecteur sont celles du point d'arrivée
• Le vecteur part de l'origine (0,0)
