Coordonnées d'un Vecteur
Introduction
Vecteurs et géométrie repérée - Seconde - Mathématiques - France
Définition des coordonnées d'un vecteur
Définition mathématique
Dans un repère (O, I, J), les coordonnées d'un vecteur ⃗u sont les coordonnées du point M tel que ⃗OM = ⃗u.
Calcul des coordonnées d'un vecteur
Formule de calcul
Soient deux points A(xA, yA) et B(xB, yB). Les coordonnées du vecteur ⃗AB sont :
Cela signifie que pour obtenir les coordonnées du vecteur ⃗AB, on soustrait les coordonnées de l'origine A aux coordonnées de l'extrémité B.
2 On soustrait les coordonnées de l'origine (point A)
3 Résultat : ⃗AB = (xB - xA, yB - yA)
Exemple de calcul de coordonnées
Calcul pratique
Soient les points A(2, 3) et B(5, 7). Calculer les coordonnées du vecteur ⃗AB.
A(xA, yA) = A(2, 3) et B(xB, yB) = B(5, 7)
2 On applique la formule :
⃗AB(xB - xA, yB - yA)
3 On effectue les calculs :
⃗AB(5 - 2, 7 - 3) = ⃗AB(3, 4)
2 Pour aller de A à B, on se déplace de 3 unités vers la droite et de 4 unités vers le haut
3 Ces coordonnées sont indépendantes du repère choisi
Propriétés des coordonnées
Propriétés importantes
Le vecteur nul ⃗0 a pour coordonnées (0, 0). Cela signifie que :
On a ⃗AA = ⃗0 pour tout point A, donc ⃗AA(0, 0).
Si ⃗u(xu, yu), alors le vecteur opposé -⃗u a pour coordonnées :
Par exemple, si ⃗u(3, -2), alors -⃗u(-3, 2).
Addition de vecteurs
Opérations sur les vecteurs
Soient ⃗u(xu, yu) et ⃗v(xv, yv). Le vecteur ⃗u + ⃗v a pour coordonnées :
On ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
Le vecteur ⃗u + ⃗v est le vecteur dont l'origine est celle de ⃗u et l'extrémité est celle de ⃗v quand on place ⃗v à l'extrémité de ⃗u.
On peut aussi voir ⃗u + ⃗v comme la diagonale du parallélogramme construit sur ⃗u et ⃗v.
Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Multiplication par un nombre
Soit ⃗u(xu, yu) un vecteur et k un nombre réel. Le vecteur k⃗u a pour coordonnées :
On multiplie chaque coordonnée du vecteur par le nombre k.
Si ⃗u(2, -3) :
- 2⃗u(4, -6)
- -⃗u(-2, 3)
- 0⃗u(0, 0)
Exemple avec opérations sur les vecteurs
Calculs complexes
Soient ⃗u(2, -1) et ⃗v(-3, 4). Calculer les coordonnées de 2⃗u - 3⃗v.
2⃗u = 2(2, -1) = (4, -2)
2 Calcul de 3⃗v :
3⃗v = 3(-3, 4) = (-9, 12)
3 Calcul de 2⃗u - 3⃗v :
2⃗u - 3⃗v = (4, -2) - (-9, 12) = (4 - (-9), -2 - 12) = (13, -14)
4 Donc 2⃗u - 3⃗v(13, -14)
On peut aussi utiliser la distributivité :
2⃗u - 3⃗v = 2(2, -1) - 3(-3, 4)
= (4, -2) - (-9, 12)
= (4 - (-9), -2 - 12)
= (13, -14)
Norme d'un vecteur
Longueur d'un vecteur
Soit ⃗u(xu, yu) un vecteur. La norme (ou longueur) de ⃗u est notée ||⃗u|| et vaut :
Cette formule découle du théorème de Pythagore.
Si ⃗u(3, 4), alors :
||⃗u|| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
La norme de ⃗u est 5 unités.
Applications en géométrie
Utilisations concrètes
Soient deux points A(xA, yA) et B(xB, yB). La distance AB est égale à la norme du vecteur ⃗AB :
Cette formule est très utile pour calculer des distances dans un repère.
- 1 Identification de figures géométriques
- 2 Vérification de l'alignement de points
- 3 Calcul d'aires et de périmètres
- 4 Résolution de problèmes de translations
Exemple de construction détaillée
Construction pas à pas
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1, 2) et B(4, 6). On considère le point C tel que ⃗AC = 2⃗AB. Déterminer les coordonnées de C.
2 Calculer les coordonnées de 2⃗AB
3 Utiliser la relation ⃗AC = 2⃗AB pour trouver C
4 Vérifier le résultat
Exercice d'application
Problème complet
Dans un repère (O, I, J), on considère les points A(2, 3), B(5, 7) et C(1, -1).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs ⃗AB et ⃗AC.
2. Calculer les coordonnées du vecteur 3⃗AB - 2⃗AC.
3. Calculer la distance AB.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
⃗AB a pour coordonnées : (xB - xA, yB - yA) = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)
Donc ⃗AB(3, 4)
⃗AC a pour coordonnées : (xC - xA, yC - yA) = (1 - 2, -1 - 3) = (-1, -4)
Donc ⃗AC(-1, -4)
3⃗AB = 3(3, 4) = (9, 12)
2⃗AC = 2(-1, -4) = (-2, -8)
3⃗AB - 2⃗AC = (9, 12) - (-2, -8) = (9 - (-2), 12 - (-8)) = (11, 20)
Donc 3⃗AB - 2⃗AC(11, 20)
Suite de la solution
Continuation de la correction
La distance AB est égale à la norme du vecteur ⃗AB(3, 4) :
AB = ||⃗AB|| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Donc la distance AB est de 5 unités.
On peut vérifier avec la formule directe de distance :
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]
AB = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5
On retrouve bien la même valeur.
Résumé
Points clés
- ⃗AB(xB - xA, yB - yA)
- Le vecteur nul ⃗0(0, 0)
- Opposé : -⃗u(-xu, -yu)
- ⃗u + ⃗v(xu + xv, yu + yv)
- k⃗u(kxu, kyu)
- ||⃗u|| = √(xu² + yu²)
- Calcul de distances : AB = ||⃗AB||
- Identification de figures géométriques
- Résolution de problèmes de translations
Exercices supplémentaires
Entraînement
Soient les points A(-1, 2), B(3, 5) et C(2, -1). Calculer les coordonnées des vecteurs ⃗AB, ⃗BC et ⃗AC. Vérifier que ⃗AB + ⃗BC = ⃗AC.
Soient ⃗u(2, -3) et ⃗v(-1, 4). Calculer les coordonnées de 3⃗u - 2⃗v et de ||⃗u||.
Solutions des exercices
Corrections
⃗AB = (3-(-1), 5-2) = (4, 3)
⃗BC = (2-3, -1-5) = (-1, -6)
⃗AC = (2-(-1), -1-2) = (3, -3)
Vérification : ⃗AB + ⃗BC = (4, 3) + (-1, -6) = (3, -3) = ⃗AC ✓
3⃗u - 2⃗v = 3(2, -3) - 2(-1, 4) = (6, -9) - (-2, 8) = (8, -17)
||⃗u|| = √(2² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences