Fonction Affine - Forme f(x) = ax + b | Mathématiques Seconde

• Si b = 0, la fonction est linéaire : f(x) = ax
• Si a = 0, la fonction est constante : f(x) = b
• Si a = 1 et b = 0, la fonction est identique : f(x) = x

Le coefficient directeur a détermine la pente de la droite :

• Si a > 0, la fonction est croissante
• Si a < 0, la fonction est décroissante
• Si a = 0, la fonction est constante

Il mesure le taux de variation de la fonction : pour une augmentation de 1 unité de x, la fonction varie de a unités.

L'ordonnée à l'origine b est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

C'est la valeur de la fonction quand x = 0 : f(0) = a×0 + b = b.

Le point d'intersection est donc (0, b).

Soient deux points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) appartenant à la droite représentative de la fonction affine f(x) = ax + b.

Le coefficient directeur a est donné par la formule :

Cette formule est valable pour tous les points de la droite.

Soient les points A(1, 2) et B(4, 8) appartenant à une droite affine.

Calculons le coefficient directeur :

Le coefficient directeur est 2.

Soient les points C(-2, 5) et D(3, -1) appartenant à une droite affine.

Calculons le coefficient directeur :

Le coefficient directeur est -6/5.

Pour déterminer l'équation f(x) = ax + b d'une droite affine passant par deux points connus :

1. Calculer le coefficient directeur a avec la formule : \( a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \)
2. Utiliser un des points pour déterminer b : \( y_A = ax_A + b \Rightarrow b = y_A - ax_A \)
3. Écrire la fonction : f(x) = ax + b

Étape 1 : Calcul du coefficient directeur

Étape 2 : Calcul de l'ordonnée à l'origine

Utilisons le point A(2, 3) : f(2) = 3

Étape 3 : Écriture de la fonction

Vérification : f(2) = 2(2) - 1 = 3 ✓ et f(5) = 2(5) - 1 = 9 ✓

Si on connaît le coefficient directeur a et un point A(x_A, y_A) appartenant à la droite :

On utilise : y_A = ax_A + b

On isole b : b = y_A - ax_A

La fonction est : f(x) = ax + (y_A - ax_A)

Les fonctions affines permettent de :

• Représenter des droites dans un repère
• Calculer des intersections entre droites
• Déterminer des équations de droites
• Étudier les variations de fonctions

• 1 Calcul de coûts linéaires (tarifs, prix)
• 2 Modélisation de phénomènes linéaires
• 3 Analyse de tendances
• 4 Problèmes de proportionnalité

On sait que f est affine donc f(x) = ax + b.

On a : f(1) = 4 et f(3) = 10.

Donc : a(1) + b = 4 et a(3) + b = 10.

Cela donne le système :

• a + b = 4
• 3a + b = 10

Soustrayons la première équation de la deuxième : (3a + b) - (a + b) = 10 - 4

Soit : 2a = 6, donc a = 3.

En remplaçant dans la première équation : 3 + b = 4, donc b = 1.

L'expression de la fonction est : f(x) = 3x + 1.

On a f(x) = 3x + 1.

Donc : f(0) = 3(0) + 1 = 1

Et : f(5) = 3(5) + 1 = 15 + 1 = 16

On trace la droite passant par les points A(1, 4) et B(3, 10).

On peut aussi utiliser les points A(0, 1) et B(1, 4).

Le coefficient directeur est a = 3, donc la droite monte de 3 unités quand on avance de 1 unité.

On résout : 3x + 1 = 0

Soit : 3x = -1

Donc : x = -1/3

L'antécédent de 0 par f est -1/3.

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b où a et b sont des réels.

• a est le coefficient directeur (pente)
• b est l'ordonnée à l'origine

• La représentation graphique est une droite
• Si a > 0, la fonction est croissante
• Si a < 0, la fonction est décroissante
• Si a = 0, la fonction est constante
• L'ordonnée à l'origine est f(0) = b

• Coefficient directeur : \( a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \)
• Expression de la fonction : f(x) = ax + b
• Point d'intersection avec l'axe des ordonnées : (0, b)