Lecture des extremums - Mathématiques Seconde

Un maximum local de f est une valeur f(a) telle que :

Cela signifie que f(a) est la plus grande valeur de f sur un petit intervalle autour de a.

Un minimum local de f est une valeur f(b) telle que :

Cela signifie que f(b) est la plus petite valeur de f sur un petit intervalle autour de b.

Un maximum global (ou absolu) est un maximum local qui est aussi le maximum sur l'ensemble de définition.

Un minimum global (ou absolu) est un minimum local qui est aussi le minimum sur l'ensemble de définition.

Un maximum local se reconnaît graphiquement par :

• Un point le plus élevé dans un voisinage
• Un changement de croissance à décroissance
• Une "bosse" sur la courbe

Un minimum local se reconnaît graphiquement par :

• Un point le plus bas dans un voisinage
• Un changement de décroissance à croissance
• Un "creux" sur la courbe

Dans un tableau de variations, les extrema se trouvent :

• Aux points où la fonction change de sens de variation
• Un maximum correspond à un changement de croissant à décroissant
• Un minimum correspond à un changement de décroissant à croissant

Flèche vers le bas de -∞ à 0, flèche vers le haut de 0 à +∞

→ Minimum global en x = 0, f(0) = 0

La fonction carrée f(x) = x² admet un minimum global en x = 0.

Valeur du minimum : f(0) = 0

La fonction est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

La fonction cube f(x) = x³ est strictement croissante sur ℝ.

Elle n'admet ni maximum ni minimum sur ℝ.

Elle est croissante sur tout son ensemble de définition.

La fonction inverse f(x) = 1/x est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Elle n'admet ni maximum ni minimum sur ℝ*.

Une fonction affine f(x) = ax + b avec a ≠ 0 n'admet pas d'extremum global sur ℝ.

Si a > 0, la fonction est strictement croissante

Si a < 0, la fonction est strictement décroissante

Elle n'a donc pas de maximum ni de minimum sur ℝ.

Une fonction constante f(x) = c admet un maximum et un minimum égaux à c.

Pour tout x, f(x) = c, donc c est à la fois le maximum et le minimum.

Chaque point est à la fois un maximum global et un minimum global.

Une fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c admet un extremum en :

Si a > 0, c'est un minimum

Si a < 0, c'est un maximum

Ici, a = -1, b = 4, c = -3

Donc x = -4/(2×(-1)) = 2

Et f(2) = -(2)² + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1

Comme a < 0, f admet un maximum global égal à 1 en x = 2

Sur la courbe représentative :

• Un maximum correspond à un point le plus haut dans un voisinage
• Un minimum correspond à un point le plus bas dans un voisinage
• Les extrema correspondent aux points où la tangente est horizontale

Pour la fonction f(x) = x² :

• Le minimum est atteint en x = 0
• La valeur du minimum est f(0) = 0
• Sur la courbe, c'est le point le plus bas (le sommet de la parabole)
• La tangente en ce point est horizontale

Les extrema permettent de résoudre des problèmes d'optimisation :

• Maximiser une aire ou un volume
• Minimiser une distance ou un coût
• Trouver la meilleure configuration

Soit un rectangle de périmètre fixe P. Quel est le rectangle d'aire maximale ?

Soit x la longueur et y la largeur : 2x + 2y = P, donc y = (P/2) - x

Aire = x × y = x(P/2 - x) = (P/2)x - x²

C'est une fonction du second degré avec a = -1 < 0, donc un maximum.

Le maximum est atteint en x = P/4, donc y = P/4 : c'est un carré !

Attention aux erreurs fréquentes :

• Confondre maximum et minimum
• Ne pas distinguer extrema locaux et globaux
• Ne pas préciser l'intervalle de définition
• Ne pas vérifier que la fonction est définie en un point

• Toujours préciser l'intervalle d'étude
• Identifier clairement la valeur de l'extremum et l'abscisse où il est atteint
• Ne pas confondre la valeur de l'extremum avec l'abscisse
• Vérifier que la fonction est bien définie sur l'intervalle considéré

Voici quelques exemples d'applications concrètes :

• 1 Recherche de la température maximale/minimale au cours d'une journée
• 2 Optimisation d'un budget pour maximiser le profit
• 3 Calcul de la hauteur maximale atteinte par un projectile
• 4 Minimisation du temps de trajet entre deux points

La recherche d'extrema permet de :

• Identifier les situations optimales
• Comprendre les limites d'un phénomène
• Prendre des décisions éclairées
• Résoudre des problèmes complexes

La fonction f(x) = -x² + 2x + 3 est une fonction du second degré avec a = -1 < 0.

L'abscisse du sommet est x = -b/(2a) = -2/(2×(-1)) = 1

f(1) = -(1)² + 2(1) + 3 = 4

Comme a < 0, la fonction est croissante sur ]-∞ ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[.

Sur [-2 ; 4], la fonction est croissante sur [-2 ; 1] et décroissante sur [1 ; 4].

Flèche vers le haut de -2 à 1, flèche vers le bas de 1 à 4

Sur l'intervalle [-2 ; 4] :

• Maximum : f(1) = 4 (atteint en x = 1)
• Minimum : f(-2) = f(4) = -5 (atteint en x = -2 et x = 4)

Sur l'intervalle [-2 ; 4] :

• f(1) = 4 est un maximum global de f
• f(-2) = f(4) = -5 sont des minimums globaux de f

Ce sont des extrema globaux car ce sont les valeurs maximales et minimales de f sur tout l'intervalle [-2 ; 4].

Un maximum de f sur un intervalle I est une valeur M telle que f(x) ≤ M pour tout x ∈ I

Un minimum de f sur un intervalle I est une valeur m telle que f(x) ≥ m pour tout x ∈ I

On distingue :

• Les extrema locaux (sur un petit intervalle)
• Les extrema globaux (sur tout l'intervalle d'étude)

On peut lire les extrema :

• Sur la courbe représentative (points les plus hauts/bas)
• Dans un tableau de variations (changements de sens de variation)