Tableau de variations - Mathématiques Seconde

Avant de construire un tableau de variations, il faut identifier l'ensemble de définition de la fonction f. C'est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

Il faut déterminer sur quels intervalles la fonction est croissante ou décroissante. Cela peut se faire :

• Par le calcul (en comparant f(x₁) et f(x₂))
• En utilisant la dérivée (dans les classes supérieures)
• En reconnaissant des fonctions de référence

1 Ensemble de définition : ℝ
2 Sens de variation : décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
3 Minimum en x = 0, f(0) = 0
4 Tableau de variations complet

La lecture horizontale du tableau permet de comprendre le sens de variation :

• Une flèche vers le haut indique que la fonction est croissante
• Une flèche vers le bas indique que la fonction est décroissante
• Une flèche horizontale indique que la fonction est constante

La lecture verticale permet de connaître les valeurs prises par la fonction :

• Les valeurs en haut et en bas des flèches correspondent aux images des valeurs de x
• Les extrema sont visibles aux changements de direction des flèches

La fonction identité f(x) = x est définie sur ℝ et est strictement croissante sur ℝ.

x	-∞	+∞
f(x)	-∞	+∞

La fonction carrée f(x) = x² est définie sur ℝ, décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

x	-∞	0	+∞
f(x)	+∞	0	+∞

Un extremum est une valeur particulière d'une fonction :

• Maximum local : la fonction atteint un maximum dans un intervalle
• Minimum local : la fonction atteint un minimum dans un intervalle
• Maximum global : la fonction atteint son maximum absolu
• Minimum global : la fonction atteint son minimum absolu

Les extrema apparaissent dans le tableau de variations :

• Ils sont situés aux points où la fonction change de sens de variation
• Un minimum correspond à un changement de décroissant à croissant
• Un maximum correspond à un changement de croissant à décroissant

Une fonction affine est une fonction de la forme :

Où a et b sont des réels donnés.

Le coefficient a détermine le sens de variation :

• Si a > 0, la fonction est croissante sur ℝ
• Si a < 0, la fonction est décroissante sur ℝ
• Si a = 0, la fonction est constante sur ℝ

Voici le tableau pour f(x) = 2x + 1 (a = 2 > 0) :

x	-∞	+∞
f(x)	-∞	+∞

La fonction inverse est définie par :

Son ensemble de définition est ℝ* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

La fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

x	-∞	0⁻	0⁺	+∞
f(x)	0	-∞	+∞	0

Le tableau de variations correspond à la forme de la courbe représentative :

• Une flèche vers le haut correspond à une portion de courbe qui "monte"
• Une flèche vers le bas correspond à une portion de courbe qui "descend"
• Un extremum correspond à un point particulier de la courbe (sommet, creux)

Pour la fonction f(x) = x² :

• Sur ]-∞ ; 0], la fonction est décroissante → la courbe descend
• Sur [0 ; +∞[, la fonction est croissante → la courbe monte
• La courbe a un minimum en x = 0 → point le plus bas de la parabole

Le tableau de variations permet de résoudre des équations de la forme f(x) = k :

• On identifie les intervalles où f est monotone (strictement croissante ou décroissante)
• On vérifie si k appartient à l'image de f sur ces intervalles
• On déduit le nombre de solutions et leur encadrement

Le tableau de variations permet de résoudre des inéquations :

• On repère les valeurs de x pour lesquelles f(x) = k
• On utilise le sens de variation pour déterminer les intervalles solutions
• On tient compte du sens de l'inégalité

Attention aux erreurs fréquentes :

• Confondre les flèches vers le haut (croissant) et vers le bas (décroissant)
• Ne pas tenir compte de l'ensemble de définition
• Oublier les discontinuités ou les points non définis
• Interpréter les valeurs extrêmes de façon incorrecte

• Toujours commencer par déterminer l'ensemble de définition
• Vérifier que le tableau est cohérent avec la courbe
• Marquer clairement les extrema et les limites
• Indiquer les flèches de manière claire et lisible

Voici quelques exemples d'applications concrètes :

• 1 Évolution d'une température au cours du temps (fonction croissante ou décroissante)
• 2 Évolution d'un capital placé à intérêts composés (fonction croissante)
• 3 Évolution de la vitesse d'un véhicule en fonction du temps
• 4 Coût de production en fonction de la quantité produite

Le tableau de variations permet de :

• Prévoir l'évolution d'une grandeur
• Identifier les moments où une grandeur atteint un maximum ou un minimum
• Optimiser des processus
• Comprendre les tendances
• Faire des prédictions

La fonction f(x) = -x² + 2x + 3 est une fonction du second degré avec a = -1 < 0.

L'abscisse du sommet est x = -b/(2a) = -2/(2×(-1)) = 1

f(1) = -(1)² + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

Comme a < 0, la fonction est croissante sur ]-∞ ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[.

x	-∞	1	+∞
f(x)	-∞	4	-∞

Le maximum de f est atteint en x = 1 et vaut f(1) = 4.

Les coordonnées du maximum sont (1 ; 4).

Pour résoudre f(x) ≥ 3, on cherche les valeurs de x telles que f(x) ≥ 3.

On résout -x² + 2x + 3 = 3, soit -x² + 2x = 0, donc x(-x + 2) = 0.

Les solutions sont x = 0 et x = 2.

Grâce au tableau de variations, f(x) ≥ 3 sur l'intervalle [0 ; 2].

Un tableau de variations résume le comportement d'une fonction :

• Il montre les intervalles de croissance et de décroissance
• Il indique les extrema (maximums et minimums)
• Il permet de résoudre des équations et inéquations

La lecture se fait :

• Horizontalement : pour comprendre le sens de variation
• Verticalement : pour connaître les valeurs prises par la fonction

Les étapes sont :

• Déterminer l'ensemble de définition
• Étudier les variations de la fonction
• Repérer les extrema
• Tracer le tableau avec les flèches appropriées