Sens de variation (croissante / décroissante) - Mathématiques Seconde

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :

Cela signifie que lorsque x augmente, f(x) augmente aussi.

1 La fonction f(x) = x est croissante sur ℝ
2 La fonction f(x) = 2x + 3 est croissante sur ℝ
3 La fonction f(x) = x² est croissante sur [0 ; +∞[

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :

Cela signifie que lorsque x augmente, f(x) diminue.

1 La fonction f(x) = -x est décroissante sur ℝ
2 La fonction f(x) = -2x + 5 est décroissante sur ℝ
3 La fonction f(x) = 1/x est décroissante sur ]0 ; +∞[

Une fonction f est constante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :

Cela signifie que la valeur de f(x) ne change pas quelle que soit la valeur de x dans l'intervalle I.

• 1 La fonction f(x) = 5 est constante sur ℝ
• 2 La fonction f(x) = -3 est constante sur ℝ
• 3 Toute fonction de la forme f(x) = c où c est une constante

Le tableau de variation est un outil qui synthétise le comportement d'une fonction sur son ensemble de définition. Il indique :

• Les bornes de l'ensemble de définition
• Les valeurs particulières (minima, maxima)
• Le sens de variation (flèches vers le haut pour croissant, flèches vers le bas pour décroissant)

x	-∞	-1	+∞
f(x)	+∞	0	+∞

Flèche vers le bas de -∞ à -1, flèche vers le haut de -1 à +∞

1 Prendre deux réels x₁ et x₂ tels que x₁ < x₂ dans l'intervalle I
2 Calculer f(x₂) - f(x₁)
3 Étudier le signe de f(x₂) - f(x₁)
4 Conclure :

• Si f(x₂) - f(x₁) > 0 alors f est croissante
• Si f(x₂) - f(x₁) < 0 alors f est décroissante

Soient x₁ < x₂, alors :

Comme x₂ > x₁, on a x₂ - x₁ > 0, donc f(x₂) - f(x₁) = 2(x₂ - x₁) > 0

Donc f est croissante sur ℝ.

Sur la courbe représentative d'une fonction croissante :

• La courbe "monte" de gauche à droite
• Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite, l'ordonnée augmente
• La tangente à la courbe (si elle existe) a un coefficient directeur positif

Sur la courbe représentative d'une fonction décroissante :

• La courbe "descend" de gauche à droite
• Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite, l'ordonnée diminue
• La tangente à la courbe (si elle existe) a un coefficient directeur négatif

La fonction f(x) = x² est définie sur ℝ.

Étudions ses variations :

• Sur ]-∞ ; 0], f est décroissante
• Sur [0 ; +∞[, f est croissante

En effet, si x₁ < x₂ ≤ 0, alors x₁² > x₂² (car x² est décroissante sur les négatifs)

Et si 0 ≤ x₁ < x₂, alors x₁² < x₂² (car x² est croissante sur les positifs)

La courbe de f(x) = x² est une parabole :

• Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
• Elle admet un minimum en x = 0
• Elle est décroissante avant 0 et croissante après 0

Une fonction affine est une fonction de la forme :

Où a et b sont des réels donnés.

• Si a > 0, la fonction est croissante sur ℝ
• Si a < 0, la fonction est décroissante sur ℝ
• Si a = 0, la fonction est constante sur ℝ

Le coefficient a est appelé coefficient directeur.

La fonction inverse est définie par :

Son ensemble de définition est ℝ* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

• Sur ]-∞ ; 0[, la fonction inverse est décroissante
• Sur ]0 ; +∞[, la fonction inverse est décroissante

Attention : la fonction n'est pas globalement décroissante sur ℝ*, car elle n'est pas continue en 0.

Pour comparer les variations de deux fonctions f et g, on peut :

• Comparer leurs taux d'accroissement
• Étudier le signe de (f - g)(x)
• Analyser graphiquement leurs courbes

Sur l'intervalle [0 ; 1] :

• La fonction f(x) = x est croissante
• La fonction g(x) = x² est croissante
• Mais x² ≤ x (car x² - x = x(x-1) ≤ 0 sur [0 ; 1])

Donc x² croît "moins vite" que x sur [0 ; 1].

Voici quelques exemples d'applications concrètes :

• 1 Évolution d'une température au cours du temps (fonction croissante ou décroissante)
• 2 Évolution d'un capital placé à intérêts composés (fonction croissante)
• 3 Évolution de la vitesse d'un véhicule en fonction du temps
• 4 Coût de production en fonction de la quantité produite

Identifier le sens de variation permet de :

• Prévoir l'évolution d'une grandeur
• Optimiser des processus
• Comprendre les tendances
• Faire des prédictions

La fonction f(x) = -2x + 4 est une fonction affine avec a = -2.

Comme a = -2 < 0, la fonction f est décroissante sur ℝ.

La courbe de f est une droite :

• Avec coefficient directeur -2 (négatif)
• Ordonnée à l'origine : f(0) = 4
• Point d'intersection avec l'axe des abscisses : f(x) = 0 → -2x + 4 = 0 → x = 2

La droite passe par les points (0 ; 4) et (2 ; 0).

f(x) > 0 signifie que la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

Comme f est décroissante et s'annule en x = 2 :

Donc S = ]-∞ ; 2[.

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si :

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si :

Une fonction f est constante sur un intervalle I si :