Variations Croissantes de la Fonction Racine Carrée | Mathématiques Seconde
Introduction aux variations croissantes de la fonction racine carrée
Découvrez comment la fonction racine carrée varie de manière croissante
Définition de la croissance d'une fonction
Concept fondamental
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est croissante sur I si, pour tous réels a et b de I tels que a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
On dit que f est strictement croissante sur I si, pour tous réels a et b de I tels que a < b, on a f(a) < f(b).
Autrement dit, une fonction est croissante si les images varient dans le même sens que les antécédents.
Le tableau de variation d'une fonction croissante a la forme suivante :
| x | a → b |
|---|---|
| f(x) |
f(a)
|
Variation de la fonction racine carrée
Étude de la croissance
La fonction racine carrée f(x) = √x est définie sur l'intervalle [0, +∞[.
Elle n'est pas définie pour les nombres négatifs.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[.
Cela signifie que si a ≤ b (avec a, b ≥ 0), alors √a ≤ √b.
Plus précisément, si 0 ≤ a < b, alors √a < √b.
Soient a et b deux réels tels que 0 ≤ a < b.
Pour démontrer que √a < √b, on utilise la factorisation :
Comme b > a, on a b - a > 0.
Comme a, b ≥ 0, on a √a ≥ 0 et √b ≥ 0, donc √b + √a > 0.
Donc : \( \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0 \), donc √b - √a > 0, donc √b > √a.
La fonction est strictement croissante sur [0, +∞[.
Propriétés de la croissance
Caractéristiques de la croissance
La croissance de la fonction racine carrée signifie qu'elle conserve l'ordre des nombres.
Si a ≤ b, alors √a ≤ √b.
Cela permet de comparer des racines carrées sans les calculer explicitement.
Exemple : Puisque 16 < 25, alors √16 < √25, soit 4 < 5.
Pour comparer √7 et √10 :
Comme 7 < 10 et que la fonction racine carrée est croissante sur [0, +∞[, alors √7 < √10.
Pour comparer √0.5 et √0.3 :
Comme 0.3 < 0.5, alors √0.3 < √0.5.
La fonction racine carrée croît lentement : plus x est grand, plus la croissance ralentit.
Par exemple :
- Entre 0 et 1 : √1 - √0 = 1 - 0 = 1
- Entre 1 et 4 : √4 - √1 = 2 - 1 = 1
- Entre 4 et 9 : √9 - √4 = 3 - 2 = 1
- Entre 9 et 16 : √16 - √9 = 4 - 3 = 1
La même augmentation de 1 dans la racine correspond à des écarts de plus en plus grands dans x.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
La croissance de la fonction racine carrée permet de :
- Comparer des distances sans les calculer exactement
- Étudier la monotonie de fonctions composées
- Résoudre des inéquations avec des racines
- Analyser des fonctions de la forme f(x) = √g(x)
- 1 Calcul de vitesses (v = √(2gh) en physique)
- 2 Étude de phénomènes de croissance lente
- 3 Analyse de données (écart-type)
- 4 Modélisation de phénomènes racinaires
Exercice d'application
Problème complet
Soit la fonction f(x) = √x définie sur [0, +∞[.
1. Étudier les variations de f sur son ensemble de définition.
2. Comparer √15 et √18 sans calculatrice.
3. Résoudre l'inéquation √x > 3.
4. Déterminer le minimum de la fonction g(x) = √x + 2 sur [0, +∞[.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
La fonction f(x) = √x est définie sur [0, +∞[.
Comme démontré précédemment, la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[.
Tableau de variations :
| x | 0 → +∞ |
|---|---|
| f(x) = √x |
0
|
Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[,
et que 15 < 18, alors √15 < √18.
Donc √15 est plus petit que √18.
Pour résoudre √x > 3, on élève au carré les deux membres (car la fonction carré est strictement croissante sur [0, +∞[).
On a : √x > 3
Donc : (√x)² > 3²
Soit : x > 9
De plus, il faut x ≥ 0 pour que √x existe.
Donc l'ensemble des solutions est : ]9, +∞[.
La fonction g(x) = √x + 2 est définie sur [0, +∞[.
Comme la fonction racine carrée est croissante sur [0, +∞[ et que l'ajout de 2 est une translation,
la fonction g est aussi strictement croissante sur [0, +∞[.
Le minimum est donc atteint en x = 0 :
Le minimum de g est 2, atteint en x = 0.
Résumé
Points clés
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si pour tous a, b ∈ I tels que a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
Elle est strictement croissante si a < b implique f(a) < f(b).
- Définie sur [0, +∞[
- Strictement croissante sur [0, +∞[
- f(0) = 0
- Conservation de l'ordre
- Croissance de plus en plus lente
- Comparer des valeurs
- Résoudre des inéquations
- Étudier des fonctions composées
- Identifier des extremums
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences